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04应变分析哈工大土木工程学院1/47土木工程学院工程力学学科组HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY弹塑性力学04应变分析哈工大土木工程学院2/47第1节位移和变形RruAA'xyzu(x、y、z)=rxRxv(x、y、z)=ryRyw(x、y、z)=rzRz由于外部因素作用（荷载或温度改变等）引起物体内部各质点位置的改变称位移。物体内任意一点的位移，用它在x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向的为正。1.1位移及其位移分量04应变分析哈工大土木工程学院3/47刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变（即其体内任意两点之间距保持不变）。刚体位移包括平行移动和转动位移04应变分析哈工大土木工程学院4/47变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。即物体的形状发生改变。变形位移包括形状改变和体积改变。04应变分析哈工大土木工程学院5/47研究物体在外力作用下的变形规律，只需研究物体内各点的相对位置变动情况，即研究变形位移。位移刚性位移：反映物体整体位置的变动变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化｛◆位移函数应是位置坐标的单值连续函数。◆位移分量函数不能直接表明物体各点处材料变形的剧烈程度，还需要研究物体内各点的相对位移。04应变分析哈工大土木工程学院6/47一个物体受作用力后，其内部质点不仅要发生相对位置的改变（产生了位移），而且要产生形状的变化（产生了变形）。物体的变形程度用应变来度量，物体在某一时刻的形态与早先的形态（一般指初始状态或未变形的状态）之间的差别就是物体在该时刻的应变。物体变形时，其体内各质点在各方向上都会有应变。1.2变形的度量——应变04应变分析哈工大土木工程学院7/47一点的变形通过微分六面体来描述，围绕物体内一点截取的无限小单元体，讨论单元体各棱长及棱间夹角的变化情况。棱边的伸长或缩短称正应变；棱边夹角的改变称剪应变。基本变形04应变分析哈工大土木工程学院8/47•变形物体中的线应变：00/ABlll的线应变原始位置0lAB变形后位置lAB•变形物体中剪应变0剪应变原始位置0ABC变形后位置ABC•如果邻近A点的材料足够小，那么围绕A点的变形可认为均匀分布，这就引入点的应变概念。名义应变又称相对应变或工程应变。1)名义应变04应变分析哈工大土木工程学院9/47线应变①、涉及受力物体内某一点；②、涉及该点的某一方向；③、是一个无量纲的物理量；④、表征某点某方向伸长变形的线应变取正，反之取负；角应变①、涉及受力物体内某一点；②、涉及过该点的某两相垂直方向；③、是一个有单位，无量纲的物理量。④、表征某点两坐标轴正方向所夹直角减少的角应变取正，反之取负。04应变分析哈工大土木工程学院10/472）对数应变假设物体内两质点相距为l0,经变形后距离为ln,则相对线应变（称工程应变）为:ε=(ln-l0)/l0这种相对线应变一般用于小应变情况。而在实际变形过程中，长度l0经过无穷多个中间的数值变成ln,如l0,l1,l2……ln-1,ln,其中相邻两长度相差均极微小，由l0～ln的总的变形程度，可以近似地看作是各个阶段相对应变之和，在应变主轴方向保持不变的情况下应变增量的总和。00nlnlldlllln%1ln()04应变分析哈工大土木工程学院11/47对数应变能真实地反映变形的积累过程，所以也称真实应变，简称为真应变。(1)相对应变不能表示变形的实际情况,变形越大，误差越大；2341111234ln()120011nnnnllllllll%Llnln12011nnllllllLlnlnln12n%%%L(2)真实应变为可叠加应变而名义应变不可叠加00nlll各阶段相对应变：1012112011,,,nnnnlllllllllL12nL04应变分析哈工大土木工程学院12/47(3)对数应变为可比应变物体伸长一倍与压缩一倍其变形程度是一样的，但用名义应变定义就出现不同，而用对数应变表达就能反映其同一性。00nlll00nlnlldlllln%04应变分析哈工大土木工程学院13/47变形前微小的正平行六面体各边边长：MA=dxMB=dyMC=dzABCABC'''xyzMM'1dddxvwM'A'=+xxxxx，，d1ddyuwM'B'=y+yyyy，，dd1dzuvM'C'=zz+zzz，，变形后微小的偏六面体各边边长：MA，MB，MC1.3体积应变04应变分析哈工大土木工程学院14/47变形后微小的偏六面体体积:1dddd1dddd1dxyzvw+xxxxxuwVM'A'MBMC=y+yyyyuvzy+zzy111dddxyzxyz变形前微小的正平行六面体体积：V0=dx·dy·dz0111xyzV04应变分析哈工大土木工程学院15/47体积应变定义：00VVV111dddddddddxyzxyzxyzxyz1111zyxzyxyxxzzyzyxzyxzwyvxu张量形式的体积应变：iiux04应变分析哈工大土木工程学院16/47ABABBB'''''''（1）随A点平动；ABAB（2）相对A点刚体转动；ABAB（3）纯变形。ABAB。1.4位移分解04应变分析哈工大土木工程学院17/47ABAB''xyzA点位移是：u(x、y、z)，v(x、y、z)，w(x、y、z)B点位移是：u=u(x+dx、y+dy、z+dz)v=v(x+dx、y+dy、z+dz)w=w(x+dx、y+dy、z+dz)04应变分析哈工大土木工程学院18/47用Taylor级数将B点位移相对A点位移展开ddduuuu=uxyzxyz11ddd22uuvuw=uxyzxyxzx11dd22vuuwyzxyzx12xvwzy12zvuxy12yuwzx转动矢量xxyyzzeee04应变分析哈工大土木工程学院19/4711ddddd22yxyyzzxv=vxyzxz11ddddd22zxzyzyxww+xy+zxy11ddddd22xxyxzzyu=uxyzyz矩阵表示：11220d110d22d01122xxyxzzyzxyxyyzyxzxzyzu'uxv'=v+y+w'wzdddxyz04应变分析哈工大土木工程学院20/47第2节点的应变状态和应变张量与应力分析一样，点应变状态也是二阶对称张量，故与应力张量有许多相似的性质。•定义一点的应变状态为：通过此点的线段长度所有变化的总体x、y、z以及由此点放射的任何两线之间夹角所有变化的总体xy、yz、zx。•可以证明一旦已知通过一点并且平行一组相互垂直坐标系的三条线段的长度和角度的变化，就能计算出通过该点的任何线段的长度变化以及由该点放射的任何两线之间夹角的变化。2.1点的应变状态04应变分析哈工大土木工程学院21/47P点x方向的位移为u(x,y)，则A点在x方向的位移分量，可用泰勒展开表示为：P点位移（u，v）duuxx(dd)uvuxv+xxx,2221d2Auuuuxdxx!xLxyouvP'A'B'abxydxxuudxxvPABdxdydyyudyyvvA点位移(dd)uvuyv+yyy,B点位移2.2位移与应变的关系－几何方程04应变分析哈工大土木工程学院22/47PA的正应变：xuxuxxuuxddyvyxyouvP'A'B'abxydxxuudxxvPABdxdydyyudyyvvxvxvxxvvdda所以剪应变为：yuxvxybayuyuyyuuddb04应变分析哈工大土木工程学院23/47zxxyyyzzzxuuvxyxvvwyywwuzxz；；；该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满足的关系，称为几何方程，也称为柯西(Cauchy)关系。几何方程是用位移导数表示应变，应变描述一点的变形，但还不足以完全描述弹性单元体的位移变化，因为没有考虑单元体位置的改变，即单元体的刚体位移。04应变分析哈工大土木工程学院24/47讨论：一、物理意义：几何方程表示位移与应变之间关系；二、位移含质点间的相对位移和刚体位移；1122()yxxyyxxyuuyxtantanyxxyuuyxabab三、工程剪应变：四、应变正负号规定:正应变（伸长为正，缩短为负）剪应变（角减为正，角增为负）五、推导中应用到小变形、连续性假设和泰勒展开。理论剪应变：04应变分析哈工大土木工程学院25/47应变分量x、y、z、xy、yz、zx满足张量的性质，构成一个二阶应变张量。2.3应变张量以xi记x，y，z;以ui记u，v，w12jiijjiuuxx()12ijjiuu,,()zzyzxyzyyxxzxyxijzzyzxyzyyxxzxyx21212121212104应变分析哈工大土木工程学院26/47•应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定。因此应变状态就完全确定。•坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为一个整体，所描述的应变状态并未改变。•张量的剪切应变分量实际的剪切应变；•这是在小变形情况下建立的，在塑性力学大量问题中变形仍与弹性变形同量级，因此公式仍然成立；讨论：04应变分析哈工大土木工程学院27/47如果应变矢量qN正在平面法线N方向上，则在这一方向上剪应变为零，则该法线方向即为主方向（或应变主轴）。其含义为：在这些方向上，运动前是彼此垂直的，其运动后仍保持垂直，相应的应变称为主应变。2.4主应变和应变张量不变量考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n）斜平面上应变向量qN的三个分量：qNi=ijlj111121312212223233132333NNNqlqlql剪应变为零的方向就是应变主轴方向；主轴方向的应变就是主应变04应变分析哈工大土木工程学院28/47主方向方程有非零解的条件是其系数行列式必为零。3222222220()[()]xyzxyyzzxxyyzzxxyzxyyzzxxyzyzxzxy主应变特征方程该方程一定存在三个根，设为1，2，3称为该点主应变:1230()()()Niiql0ijijjl