第三章-应变分析

1第三章应变分析在第二章我们研究了应力张量本身和体力、面力之间的关系式，即平衡规律。本章将讨论变形体研究的另一个基本关系：变形与位移之间的关系。当然要以小变形假设为基础，位移和形变相对于变形体几何尺寸是微小的。第1节位移和（工程）应变1.1位移变形体任意点P的位移矢量iieuu，u有三个分量。1.2(工程)应变工程应变是通常工程中描述物体局部几何变化，分为正应变和剪应变。ll，（角变形）＝两微元线段夹角的改变量。（工程）正应变：11、22、33，（工程）剪应变：12=xy、23=yz、31=zx工程应变共有六个分量：三个正应变和三个剪应变，正应变以伸长为正，剪应变以使直角变小为正。x2x1x3P’uPro2第2节应变张量和转动张量应变张量和转动张量是描述一点变形和刚体转动的两个非常重要的物理量，本节将讨论一下它们与位移之间关系，在讨论之前，先介绍一下相对位移矢量和张量.2.1相对位移矢量和相对位移张量'''''QPQPPQ伸长＋转动平移rdrdudQQ''''——相对位移矢量iieuujjiidxxueud——（a）x1x1x2x2x3x3PPdx1dx2dx322dx223x2x1x3P’uPQQ’Q’’rordrdu+du3而jjedxrdrdedxjj——(b)将（b）式代入（a）式，得rdeeuudjiji,根据商法则rdUud则jiijjijieeUeeuU,为一个二阶张量——相对位移张量2.2应变张量和转动张量相对位移张量ui,j包含了变形和刚体转动，为了将两者分开，对ui,j进行整理，张量分成对称和反对称张量之和。)(21)(21,,,,,ijjiijjijiijuuuuuU或ijijjiijuU,其中),(21,,ijjiijuu)(21,,ijjiijuu显然ij=ji（对称张量），ij=-ji（反对称张量）而ij表示变形体的形变，ij表示了刚体转动。以在平面x1—x2的两个垂直线段PQ、PR的相对位移来说明并直观看一下ij，ij二阶张量表示了形变和刚体转动。41,1u，2,1u，1,2u，2,2u相对位移11，12=21，22纯变形12=-21纯转动2.3转动张量的对偶矢量由纯刚体转动可见，12=-21，正好相当于一个沿x3轴方向的转动矢量33e，方向为3e，其大小3：)(21)(21212131212321123ee类似可得，其它两个坐标平面，转动矢量11e、22eu1,1P’R’’Q’’R’Q’u1、u2x1x2dx1=1dx2=1u1,2u2,1u2,212=(u1,2-u2,1)/221=(u2,1-u1,2)/212=(u1,2+u2,1)/222=u2,211=u1,121=(u2,1+u1,2)/2(+)/2+5综合三个坐标面的转动矢量：kijijkkkeee21为转动张量的对偶矢量。*比较工程应变定义和应变张量，可得：333231232221131211333231232221131211222222第3节应变张量和转动张量的坐标变换式在xk坐标系中，已知变形体内任一点应变张量kl和转动张量kl，则在新笛卡尔坐标系x’i中此点应变张量’ij和’ij均可以通过二阶张量的坐标转换式求出它们。即：klljkiijQQ'''klljkiijQQ''''''kikikiQeeQ第4节主应变、应变方向应变张量的三个不变量确定一点的主应变和应变主方向方法与求主应力和应力主方向的方法完全一致，求主应变的方程023ⅢⅡⅠ解出1、2、3（实根），6Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别为应变张量的三个不变量：e321332211＝Ⅰ——体积应变133221＝Ⅱ321Ⅲ当123时（三个主应变不相等），三个主方向相互垂直。第5节变形协调条件（相容条件）在本章第二节中我们讨论了一点的应变张量，它包含了一点的变形信息，应变张量与位移微分关系称为几何方程（共六个）。如果已知变形体的位移状态u，则由这六个方程直接求出应变张量，但反之由六个独立的任意ij求ui不行。)(21,,ijjiijuu因为ij仅包含形变，由其求出位移时，刚体位移是无法确定的，因此，位移u无法确定。ij分量之间必须满足一定的条件（方程），才能由几何方程积分求出单值连续的位移场ui、ij的分量必须满足的方程称为变形协调方程或相容方程。变形协调方程共有六个，可由几何方程直接导出。即：1212221222221122xxxx1111xu，2222xu，)(21122112xuxu3223222332232222xxxx,1331223112213322xxxx7321231223212321221322132312231223112321)(xxuxxuxxuxxuxxuxxuxxuxxx)(312231123132112xxxxxx)(123312231213222xxxxxx)(231123312321332xxxxxx用指标符号表示：0,,,,ikjljlikijklklij或0,jliknklmijee用张量表示：0*结论：应变张量ij满足变形协调方程是保证单连域的位移单值连续解存在的必要和充分条件。对于复连域还需附加补充条件——位移单值条件。*单连域：变形体内的任何一条封闭线当缩小时均能变为一点，当不满足时为多连域。对于多连域附加补充条件办法为：假想通过适当截断，使域为单连域，在截断面ab两侧u+i=u-i即为补充条件。abu+u-8作业：1．给定位移分量u1=cx1(x2+x3)2,u2=cx2(x1+x3)2,u3=cx3(x1+x2)2此处c为一个很小的常数，求应变张量ij和转动张量ij。2.将直角坐标系绕x3轴转动角，求新坐标系应变分量的转换关系。3．假定体积不可压缩，位移u1(x1,x2)与u2(x1,x2)很小，u3=0。在一定区域内已知u1=c(1-x22)(a+bx1+cx12),其中a、b、c为常数，且12=0，求u2(x1,x2)。4．试分析以下工程应变状态能否存在（1）11=k(x12+x22)x3,22=kx22x3,33=0,12=2kx1x2x3,23=13=0(2)11=k(x12+x22),22=kx22,33=0,12=2kx1x2,23=13=0(3)11=ax1x22,22=ax12x2,33=ax1x2,12=0,23=ax32+bx2,13=ax12+bx22其中k、a、b为常数。