2016年+极坐标与参数方程+高考题的几种常见题型

第1页共14页极坐标与参数方程高考题的几种常见题型一、极坐标方程与直角坐标方程的互化例1(2007海南宁夏)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为cos4，sin4．(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．解：(I)cosx，siny，由cos4得cos42．所以xyx422．即0422xyx为⊙O1的直角坐标方程．同理0422yyx为⊙O2的直角坐标方程(II)解:由04042222yyxxyx,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=－x．二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型例2(2014贵州贵阳高三适应性监测考试,23)以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度.已知直线的方程为，曲线的参数方程为，点是曲线上的一动点.（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；(Ⅱ)求曲线上的点到直线的距离的最小值.[解析]（Ⅰ）设中点的坐标为，依据中点公式有（为参数），这是点轨迹的参数方程，消参得点的直角坐标方程为.（5分）（Ⅱ）直线的普通方程为，曲线的普通方程为，表示以为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心到直线的距离减去半径，设所求最小距离为d，则.因此曲线上的点到直线的距离的最小值为.三、求曲线的交点坐标例3（2010东北三校第一次联合考试）在极坐标系下，已知圆sincos:O和第2页共14页直线:l22)4sin(。(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；当),0(时，求直线l于圆O公共点的极坐标。解：（1）圆sincos:O，即sincos2圆O的直角坐标方程为：yxyx22，即022yxyx直线:l22)4sin(，即1cossin则直线的直角坐标方程为：1xy，即01yx。（2）由01022yxyxyx得10yx故直线l与圆O公共点的一个极坐标为)2,1(。四、根据条件求直线和圆的极坐标方程例4(2009辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（3）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。解：（Ⅰ）由得1)3cos(1)sin23cos21(C直角方程为)2,332(3322)0,2(202312321NMyxyx，所以时，，所以时，即（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为)332,0(P点的直角坐标为),6,332(),33.1(点的极坐标为则P直线OP极坐标方程为),(,五、参数方程的问题例5(2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，23)在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标.[解析]（1）由曲线：得两式两边平方相加得：即第3页共14页曲线的普通方程为：由曲线：得：所以即曲线的直角坐标方程为:(2)由（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离为所以当时，的最小值为，此时点的坐标为1.(2014山西太原高三模拟考试（一），23)在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为，且曲线C1上的点M（2，）对应的参数.且以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点.（I）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；[（Ⅱ）若是曲线C1上的两点，求的值.2.(2014福州高中毕业班质量检测,21(2))在平面直角坐标系中,以为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为,直线l的参数方第4页共14页程为:(为参数)，两曲线相交于,两点.（Ⅰ）写曲线直角坐标方程和直线普通方程;（Ⅱ）若,求的值．[解析](Ⅰ)(曲线的直角坐标方程为,直线的普通方程.（4分）(Ⅱ)直线的参数方程为(为参数),代入,得到,,对应的参数分别为,，则3.(2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），23)已知直线的参数方程为：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的参数方程；（Ⅱ）当时，求直线与曲线交点的极坐标.[解析]（Ⅰ）由，可得所以曲线的直角坐标方程为，标准方程为，曲线的极坐标方程化为参数方程为（5分）（Ⅱ）当时，直线的方程为，化成普通方程为，第5页共14页由，解得或，所以直线与曲线交点的极坐标分别为，；,.4.(2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，23)已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.[解析]（Ⅰ）直线的普通方程为，C直角坐标方程为.（Ⅱ）设点，则，所以的取值范围是.(10分）5.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，23）选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长．第6页共14页6.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题,23)已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是(t是参数)．(I)将曲线C的极坐标方程和直线的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；(Ⅱ)若直线与曲线C相交于A，B两点，且，试求实数m的值．7.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，23)已知直线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的第7页共14页极坐标方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线与圆面≤的公共点，求的取值范围．[解析]（1）圆的极坐标方程为所以又所以所以圆的普通方程（2）设由:所以圆的圆心是，半径是将代入得又直线过，圆的半径是，所以即的取值范围是8.(2014周宁、政和一中第四次联考，21)在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）（Ⅰ）将的方程化为普通方程；（Ⅱ）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设曲线的极坐标方程是，求曲线与交点的极坐标.[解析]（Ⅰ）依题意，的普通方程为，（Ⅱ）由题意，的普通方程为，代入圆的普通方程后得，解得，，点、的直角坐标为，，从而，.（7分）9.(2014江苏苏北四市高三期末统考,21C)在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为.由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.第8页共14页[解析]因为圆的极坐标方程为，所以，所以圆的直角坐标方程为，圆心为,半径为1,（4分）因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C引切线长是，所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是.（10分）10.(2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测,23)已知曲线(t为参数)，(为参数)（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;（Ⅱ）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A，B两点，求.[解析]解（Ⅰ）曲线为圆心是，半径是1的圆.曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆.（4分）（Ⅱ）曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则所以.（10分）11.(2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试,23)在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点，第9页共14页直线的极坐标方程为.（Ⅰ）判断点与直线的位置关系，说明理由；(Ⅱ)设直线与直线的两个交点为、，求的值.[解析]（Ⅰ）直线即，:，点在上.(Ⅱ)直线的参数方程为（为参数），曲线C的直角坐标方程为，将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，有，设两根为，.（10分）12.(2014兰州高三第一次诊断考试,23)在直角坐标系中，以原点O为极点，以轴正半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线的最大距离，并求出这个点的坐标.[解析]（Ⅰ）由得，则直线的普通方程为.由得曲线的普通方程为.（5分）（Ⅱ）在上任取一点，则点到直线的距离为，当，即时，，此时点.（10分)第10页共14页14.（河南省商丘市2014届高三第三次模拟考试数学（理）试题）在极坐标系中，已知圆C的圆心(2,)4C，半径r=3．（I）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若0,4，直线l的参数方程为2cos2sinxtyt（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．解：（Ⅰ）C直角坐标(1,1)，所以圆C的直角坐标方程为22(1)(1)3xy，……2分由cossinxy得，圆C的直角坐标方程为22cos2sin10．……5分（Ⅱ）将2cos2sinxtyt，代入C的直角坐标方程22(1)(1)3xy，得22(cossin)10tt，则0，设Ａ，Ｂ对应参数分别为1t，2t，则122(cossin)tt，121tt，2121212||||()484sin2ABtttttt因为[0,)4，所以sin2[0,1)所以84sin2[8,12)，所以||AB的取值范围为[22,23)15.（南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学试题）在平面直角坐标系xOy中，已知M是椭圆x24＋y212＝1上在第一象限的点，A(2，0)，B(0，23)是椭圆两个顶点，求四边形OAMB的面积的最大值．解：设M(2cosθ，23sinθ)，θ∈(0，π2)．由题知OA＝2，OB＝23，……………2分∴四边形OAMB面积S＝12×OA×23sinθ＋12×OB×2cosθ＝23sinθ＋23cosθ＝26sin(θ＋π4)所以当θ＝π4时，四边形OAMB的面积的最大值为26．……………………10分16.（甘肃省张掖市2014届高三第三次诊断考试数学（理）试题）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程是222422xtyt，（t为参数）；以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为2cos()4．（Ⅰ）写出直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值.【解析】:（Ⅰ）:420lxy,曲线C:02222yxyx……………4分第11页共14页（Ⅱ）因为圆C极坐标方程sin2cos2，所以sin2cos22，所以圆C的直角坐标方程为02222yxyx，圆心为22,22,半径为1,因为直线l的参数方程为2,22422xtyt（t为参数），所以直线l上的点22,4222ttP向圆C引切线长是222222222421424262222ttPCRt≥所以直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是62．…………………