2007-2016年全国卷极坐标与参数方程高考题汇编

1极坐标与参数方程（全国卷高考题）（2007）坐标系与参数方程：1O和2O的极坐标方程分别为4cos4sin，．（Ⅰ）把1O和2O的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求经过1O，2O交点的直线的直角坐标方程．（2008）坐标系与参数方程：已知曲线C1：cos()sinxy为参数，曲线C2：222()22xttyt为参数。（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1'C，2'C。写出1'C，2'C的参数方程。1'C与2'C公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。2（2009）已知曲线C1：4cos,3sin,xtyt（t为参数），C2：8cos,3sin,xy（为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为2t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线332,:2xtCyt（t为参数）距离的最小值．（2010）坐标系与参数方程：已知直线C1：x＝1＋tcosα，y＝tsinα，(t为参数)，圆C2：x＝cosθy＝sinθ，(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．3（2011）坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为2cos22sinxy（为参数），M是C1上的动点，P点满足2OPOM,P点的轨迹为曲线C2(Ⅰ)求C2的方程(Ⅱ)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.（2012）已知曲线C1的参数方程是x＝2cosφy＝3sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A、B、C、D以逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，π3)(Ⅰ)求点A、B、C、D的直角坐标；(Ⅱ)设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围。4（2013课标1）已知曲线1C的参数方程为45cos,55sinxtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin。（Ⅰ）把1C的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C与2C交点的极坐标（0,02）。（2013课标2）已知动点PQ、都在曲线2cos,:2sinxtCyt（t为参数）上，对应参数分别为=t与=2t（02），M为PQ的中点。（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。（2014课标1）已知曲线194:22yxC，直线tytxl222:（t为参数）（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求PA的最大值与最小值.5（2014课标2）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos,[0,]2.（1）求C得参数方程；（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线:32lyx垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标.（2015课标1）在直角坐标系xOy中，直线1:2Cx，圆222:121Cxy，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求12,CC的极坐标方程.（II）若直线3C的极坐标方程为πR4，设23,CC的交点为,MN，求2CMN的面积.（2015课标2）在直线坐标系xOy中，曲线C1：cossinxtytαα｛（t为参数，t0）其中0α.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：p=2sin，C3：p=23cos。（I）求C1与C3交点的直角坐标；（II）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.69.【2015高考新课标1，文23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线1:2Cx，圆222:121Cxy，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求12,CC的极坐标方程.（II）若直线3C的极坐标方程为πR4，设23,CC的交点为,MN，求2CMN的面积.【答案】（Ⅰ）cos2,22cos4sin40（Ⅱ）12【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C，2C的极坐标方程；（Ⅱ）将将=4代入22cos4sin40即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2CMN的面积.试题解析：（Ⅰ）因为cos,sinxy，∴1C的极坐标方程为cos2，2C的极坐标方程为22cos4sin40.……5分（Ⅱ）将=4代入22cos4sin40，得23240，解得1=22，2=2，|MN|=1－2=2，因为2C的半径为1，则2CMN的面积o121sin452=12.（23）2014（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线194:22yxC，直线tytxl222:（t为参数）（2）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（3）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求PA的最大值与最小值.7解析(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为d=|4cosθ+3sinθ-6|,则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.5.(2014课标Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈.(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.解析(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π).(2)设D(1+cost,sint).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同.tant=,t=.故D的直角坐标为,即.6.(2014辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.解析(1)设(x1,y1)为圆上的点,经变换为C上点(x,y),依题意,得由+=1得x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1.故C的参数方程为(t为参数).(2)由解得或不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=,化为极坐标方程,并整理得2ρcosθ-4ρsinθ=-3,即ρ=.8例2(2009·辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1，M、N分别为C与x轴，y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．2.解(1)由ρcosθ－π3＝1得ρ12cosθ＋32sinθ＝1.从而C的直角坐标方程为12x＋32y＝1，即x＋3y＝2，当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N233，π2.(2)M点的直角坐标为(2,0)．N点的直角坐标为(0，233)．所以P点的直角坐标为1，33，则P点的极坐标为233，π6，所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．变式迁移2(2010·东北三校第一次联考)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin(θ－π4)＝22，(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．9变式迁移2解(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0.直线l：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0.(2)由x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0得x＝0，y＝1.故直线l与圆O公共点的一个极坐标为(1，π2)．9．(12分)(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆x＝5cosφ，y＝3sinφ(φ为参数)的右焦点，且与直线x＝4－2t，y＝3－t(t为参数)平行的直线的普通方程．9．解由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝a2－b2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0.(6分)故所求直线的斜率为12，因此其方程为y＝12(x－4)，(8分)即x－2y－4＝0.(12分)10．(12分)(2010·福建)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3－22t，y＝5＋22t(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝25sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|.10．解方法一(1)ρ＝25sinθ，得x2＋y2－25y＝0，即x2＋(y－5)2＝5.(4分)(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(3－22t)2＋(22t)2＝5，即t2－32t＋4＝0.(6分)由于Δ＝(32)2－4×4＝20，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以t1＋t2＝32，t1·t2＝4.10又直线l过点P(3，5)，故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝32.(12分)方法二(1)同方法一．(2)因为圆C的圆心为点(0，5)，半径r＝5，直线l的普通方程为y＝－x＋3＋5.(8分)由x2＋y－52＝5，y＝－x＋3＋5得x2－3x＋2＝0.解得x＝1，y＝2＋5或x＝2，y＝1＋5.(10分)不妨设A(1,2＋5)，B(2,1＋5)，又点P的坐标为(3，5)，故|PA|＋|PB|＝8＋2＝32.(12分)6.【2015高考陕西，文23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标版权法xOy吕，直线l的参数方程为132(32xttyt为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为23sin.(I)写出C的直角坐标方程；(II)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的坐标.【答案】(I)2233xy；(II)(3,0).【解析】试题分析：(I)由23sin，得223sin，从而有2223xyy，所以2233xy