高三极坐标与参数方程综合练习题

1高三极坐标与参数方程综合练习题1.(2016·全国Ⅱ，23)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)，l与C交于A、B两点，|AB|＝10，求l的斜率.2.(2015·全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.3.(2016·全国Ⅲ，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标系方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.24.(2014·辽宁，23)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.5.(2015·湖南，16Ⅱ)已知直线l：x＝5＋32t，y＝3＋12t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，3)，l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值.6.已知直线l的参数方程为x＝12t，y＝22＋32t(t为参数)，若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ－π4.(1)求直线l的倾斜角；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|.37.(2016·高考全国模拟一)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝4cosθy＝4sinθ(θ为参数)倾斜角α＝π6的直线l经过点P(1，2).(1)写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值.8.(2016·南昌模拟)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同.直线l的极坐标方程为：2ρsinθ－π4＝10，曲线C：x＝2cosα，y＝2＋2sinα(α为参数)，其中α∈[0，2π).(1)试写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；(2)若点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值.9.(2014·全国Ⅰ卷)已知曲线C：x24＋y29＝1，直线l：x＝2＋t，y＝2－2t(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.410.(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x＝2＋t，y＝kt(t为参数)，直线l2的参数方程为x＝－2＋m，y＝mk(m为参数).设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－2＝0，M为与C的交点，求M的极径.11.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线M的直角坐标方程为x－2y＋2＝0(x0).(1)以曲线M上的点与点O连线的斜率k为参数，写出曲线M的参数方程；(2)设曲线C与曲线M的两个交点为A，B，求直线OA与直线OB的斜率之和.12.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ－2cosθ－6sinθ＋1ρ＝0，直线l的参数方程为x＝3＋12t，y＝3＋32t(t为参数).(1)求曲线C的普通方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为(3，3)，求|PA|＋|PB|的值.5高三极坐标与参数方程综合练习题参考答案1.解(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos2α－44.由|AB|＝10得cos2α＝38，tanα＝±153.所以l的斜率为153或－153.2.解(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2.由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，所以△C2MN的面积为12.3.解(1)C1的普通方程为x23＋y2＝1.C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cosα，sinα).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d(α)的最小值，d(α)＝|3cosα＋sinα－4|2＝2sinα＋π3－2.当且仅当α＝2kπ＋π6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为32，12.4.解(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，6依题意，得x＝x1，y＝2y1，由x21＋y21＝1得x2＋y22＝1，即曲线C的方程为x2＋y24＝1.故C的参数方程为x＝costy＝2sint(t为参数).(2)由x2＋y24＝1，2x＋y－2＝0解得：x＝1，y＝0或x＝0，y＝2.不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为12，1，所求直线斜率为k＝12，于是所求直线方程为y－1＝12x－12，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝34sinθ－2cosθ.5.解(1)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.①将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②(2)将x＝5＋32t，y＝3＋12t代入②式，得t2＋53t＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.6.解(1)直线的参数方程可以化为x＝tcos60°，y＝22＋tsin60°，根据直线参数方程的意义，直线l经过点0，22，倾斜角为60°.(2)直线l的直角坐标方程为y＝3x＋22，ρ＝2cosθ－π4的直角坐标方程为x－222＋y－222＝1，所以圆心22，22到直线l的距离d＝64.所以|AB|＝102.7.[解](1)消去θ得圆的标准方程为x2＋y2＝16.7直线l的参数方程为x＝1＋tcosπ6，y＝2＋tsinπ6.即x＝1＋32ty＝2＋12t(t为参数).(2)把直线l的方程x＝1＋32ty＝2＋12t代入x2＋y2＝16.得1＋32t2＋2＋12t2＝16.即t2＋(2＋3)t－11＝0.所以t1·t2＝－11，即|PA|·|PB|＝11.8.解(1)∵2ρsinθ－π4＝10，∴ρsinθ－ρcosθ＝10，直线l的直角坐标方程：x－y＋10＝0.由曲线C：x＝2cosα，y＝2＋2sinα(α为参数)，得曲线C：x2＋(y－2)2＝4.(2)由(1)可知，x2＋(y－2)2＝4的圆心(0，2)，半径为2.圆心到直线的距离为：d＝|1×0－1×2＋10|12＋（－1）2＝42，点P到直线l距离的最大值：42＋2.9.解(1)曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝3sinθ(θ为参数).直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝55|4cosθ＋3sinθ－6|.则|PA|＝dsin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为2255；当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为255.10.解(1)由l1：x＝2＋t，y＝kt(t为参数)消去t，化为l1的普通方程y＝k(x－2)，①同理得直线l2的普通方程为x＋2＝ky，②联立①，②消去k，得x2－y2＝4(y≠0).所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0).(2)将直线l3化为普通方程为x＋y＝2，8联立x＋y＝2，x2－y2＝4得x＝322，y＝－22，∴ρ2＝x2＋y2＝184＋24＝5，∴与C的交点M的极径为5.11.解(1)由x－2y＋2＝0（x0），y＝kx得x＝22k－1，y＝2k2k－1.故曲线M的参数方程为x＝22k－1，y＝2k2k－1k为参数，且k12.(2)由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，∴x2＋y2＝4x.将x＝22k－1，y＝2k2k－1代入x2＋y2＝4x整理得k2－4k＋3＝0，∴k1＋k2＝4.故直线OA与直线OB的斜率之和为4.12.解(1)曲线C的极坐标方程为ρ－2cosθ－6sinθ＋1ρ＝0，可得ρ2－2ρcosθ－6ρsinθ＋1＝0，可得x2＋y2－2x－6y＋1＝0，曲线C的普通方程：x2＋y2－2x－6y＋1＝0.(2)由于直线l的参数方程为x＝3＋12t，y＝3＋32t(t为参数).把它代入圆的方程整理得t2＋2t－5＝0，∴t1＋t2＝－2，t1t2＝－5，|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝26.∴|PA|＋|PB|的值为26.