正项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法§1.3正项级数的审敛法上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、正项级数及其审敛法正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界.正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数.这是因为正项级数的部分和数列{sn}是单调增加的,而单调有界数列是有极限.下页定理1(正项级数收敛的充要条件)上页下页铃结束返回首页定理2(比较审敛法)设1nnu和1nnv都是正项级数,且unvn(n1,2,).定理3设1nnu和1nnv都是正项级数,且unkvn(k0,nN).若1nnv收敛,则1nnu收敛若1nnu发散,则1nnv发散.若1nnv收敛,则1nnu收敛若1nnu发散,则1nnv发散.下页上页下页铃结束返回首页仅就unvn(n1,2,)的情形证明.简要证明因此级数∑un收敛.即部分和数列{sn}有界.v1v2vns(n1,2,),snu1u2un则级数∑un的部分和设级数∑vn收敛,其和为s,反之,若级数∑un发散,则级数∑vn必发散.由已证结论,级数∑un也收敛,矛盾.这是因为如果级数∑vn收敛,定理2(比较审敛法)若1nnv收敛,则1nnu收敛反之,若1nnu发散,则1nnv发散.设1nnu和1nnv都是正项级数,且unvn(n1,2,).若1nnv收敛,则1nnu收敛反之,若1nnu发散,则1nnv发散.上页下页铃结束返回首页解下页定理2(比较审敛法)例1讨论p级数)0(11pnpn的收敛性.解当p1时,nnp11,而级数11nn发散,所以级数pnn11也发散.解当p1时,nnp11,而级数11nn发散,设∑un和∑vn都是正项级数,且unkvn(k0,nN).若级数∑vn收敛,则级数∑un收敛若级数∑un发散,则级数∑vn发散.上页下页铃结束返回首页,1p将级数改写成)1519181()71615141()3121(1ppppppppp31211)21()21(211ppp2)若)818181()41414141()2121(1ppppppppp当p1时，上式中的最后一个级数是收敛的几何级数，其部分和σn有界，从而p-级数的部分和sn满足,12nnnsss也即sn有界，由定理结论知，当p1时，p-级数收敛。上页下页铃结束返回首页证因为11)1(1)1(12nnnn,设∑un和∑vn都是正项级数,且unkvn(k0,nN).若级数∑vn收敛,则级数∑un收敛若级数∑un发散,则级数∑vn发散.p级数的收敛性证下页定理2(比较审敛法)p级数pnn11当p1时收敛,当p1时发散.例2证明级数1)1(1nnn是发散的.而级数111nn发散,故级数1)1(1nnn也发散.而级数111nn发散,故级数1)1(1nnn也发散.上页下页铃结束返回首页调和级数与p级数是用于正项级数收敛性判断的两个常用的比较级数.若存在,ZN对一切,Nn,1)1(nun,)1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu上页下页铃结束返回首页例：123425nnn提示：.125342522nnn调和级数与p级数是用于正项级数收敛性判断的两个常用的比较级数.若存在,ZN对一切,Nn,1)1(nun,)1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu上页下页铃结束返回首页简要证明证明由极限的定义可知,对l21,存在自然数N,当nN时,有不等式llvullnn2121,即nnnlvulv2321,llvullnn2121,即nnnlvulv2321,再根据比较审敛法,即得所要证的结论.设1nnu和1nnv都是正项级数,(1)如果lvunnnlim(0l),且1nnv收敛,则1nnu收敛(2)如果lvunnnlim(0l),且1nnv发散,则1nnu发散.定理4(比较审敛法的极限形式)上页下页铃结束返回首页下页定理4(比较审敛法的极限形式)设1nnu和1nnv都是正项级数,例3.1211的敛散性判断nn解:则有令,21,121nnnnvu.01)21(11limlimnnnnnvu(1)如果lvunnnlim(0l),且1nnv收敛,则1nnu收敛(3)如果lvunnnlim(0l),且1nnv发散,则1nnu发散.上页下页铃结束返回首页下页定理5(极限审敛法).1为正项级数设nnu.,lim0lim)1(1发散则或若nnnnnnunulnu.),1(0lim)2(1收敛则若nnnpnuplun例4解:.1sin1的敛散性判断nn,011sinlimnnn.1sin1发散所以nn上页下页铃结束返回首页设正项级数1nnu收敛,能否推出12nnu收敛?提示:nnnuu2limnnulim0由比较判敛法可知12nnu收敛.注意:反之不成立.例如,121nn收敛,11nn发散.思考：上页下页铃结束返回首页设级数1nnu收敛,能否推出12nnu收敛?提示:nunn1)1(思考：.12nun则级数收敛,且其和su1,其余项rn的绝对值|rn|un1.如果交错级数11)1(nnnu满足条件定理(莱布尼茨（Leibnitz）定理)(1)unun1(n1,2,3,)(2)0limnnu,上页下页铃结束返回首页(1)1111nnunnu(n1,2,),(2)01limlimnunnn,这是一个交错级数.解由莱布尼茨定理,级数是收敛的,且其和su11,余项11||1nurnn.首页则级数收敛,且其和su1,其余项rn的绝对值|rn|un1.如果交错级数11)1(nnnu满足条件定理7(莱布尼茨（Leibnitz）定理)(1)unun1(n1,2,3,)(2)0limnnu,因为此级数满足(1)1111nnunnu(n1,2,),(2)01limlimnunnn,例10证明级数1)1(11nnn收敛,并估计和及余项.例5上页下页铃结束返回首页1.判别级数的敛散性:解:(1)11nn发散,故原级数发散.(2)11nn发散,故原级数发散.上页下页铃结束返回首页下页定理8(比值审敛法,达朗贝尔审敛法)，则，如果对正项级数nnnnnuuu11lim.1)1(1收敛，则若nnu.1)2(111发散，则或若nnnnnuuu证明：时有，当，，由NnNuunnn00lim1.1nnuu上页下页铃结束返回首页时有当使取正数若NnNq,0,1,0,1)1(,1quunn,,,,,221NkkNNNNNuquuququu11,kkNkNkuuq收敛，由比较审敛法知收敛级数.1收敛即nnu上页下页铃结束返回首页时有当使取正数若NnN,0,1,0,1)2(,11nnuu,1nnuu也即,0limnnu从而.1发散故nnu,lim)3(1时当nnnuu,1,,0,011MuuNnNMnn有时当存在取.,11发散可得也即nnnnuuu上页下页铃结束返回首页，级数的收敛性如何？若正项级数1lim,11nnnnnuuu提示:pnnu1思考：11)1(1limlim1ppnnnnnnuu上页下页铃结束返回首页散吗？不存在，则级数一定发若正项级数nnnnnuuu11lim,提示:nnnu2)1(5思考：12,431515212,31151521)1(5)1(52111knknuunnnnnnnu)21(25上页下页铃结束返回首页.10!)2(,!)1(11的敛散性判断级数nnnnnnn例10解：.1)11(1)1(!/)1()!1()1(11ennnnnnnuunnnnnn.10110!/10)!1()2(11nnnuunnnn上页下页铃结束返回首页下页定理9(根值审敛法,柯西判别法)例8证明级数13121132nn是收敛的.01lim1limlimnnunnnnnnn,所以,根据根值审敛法可知所给级数收敛.因为解01lim1limlimnnunnnnnnn,01lim1limlimnnunnnnnnn,.,lim1)2(.,1)1(,lim,111发散则或若收敛则若如果对正项级数nnnnnnnnnnnnuuuuu上页下页铃结束返回首页例9判定级数12)1(2nnn的收敛性.所以,根据根值审敛法可知所给级数收敛.因为解21)1(221limlimnnnnnnu,21)1(221limlimnnnnnnu,21)1(221limlimnnnnnnu,下页定理9(根值审敛法,柯西判别法).,lim1)2(.,1)1(,lim,111发散则或若收敛则若如果对正项级数nnnnnnnnnnnnuuuuu上页下页铃结束返回首页时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数pnnnnu1)(1n思考:但,1p级数收敛;,1p级数发散.上页下页铃结束返回首页定理9(根值审敛法,柯西判别法).)2332(的敛散性判断级数nnn例解：.,lim1)2(.,1)1(,lim,111发散则或若收敛则若如果对正项级数nnnnnnnnnnnnuuuuu.1322332nnunn上页下页铃结束返回首页定理.)()(112112211111sssvuvuvuvuvuvusvunnnnnnn也收敛，且其和为，则它们的柯西乘积和都收敛，其和分别为和若正项级数