2018高考数学文科二轮复习-椭圆双曲线抛物线课件练习全面版

专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线1．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为()A.x28－y210＝1B.x24－y25＝1C.x25－y24＝1D.x24－y23＝1解析：由题设知ba＝52，①又由椭圆x212＋y23＝1与双曲线有公共焦点，易知a2＋b2＝c2＝9，②由①②解得a＝2，b＝5，则双曲线C的方程为x24－y25＝1.答案：B2．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－y23＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为()(导学号55410051)A.13B.12C.23D.32解析：由c2＝a2＋b2＝4，得c＝2，所以F(2，0)．将x＝2代入x2－y23＝1，得y＝±3，则|PF|＝3.又点A(1，3)，故△APF的面积为12×3×(2－1)＝32.答案：D3．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.63B.33C.23D.13解析：以线段A1A2为直径的圆是x2＋y2＝a2，直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，所以圆心(0，0)到直线的距离d＝2aba2＋b2＝a，整理为a2＝3b2.所以a2＝3(a2－c2)⇒2a2＝3c2，即c2a2＝23，e＝ca＝63.答案：A4．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________．解析：因y2＝8x，则p＝4，焦点为F(2，0)，准线l：x＝－2，如图，M为线段FN的中点，故易知线段BM为梯形AFNC中位线，因为|CN|＝2，|AF|＝4，所以|MB|＝3，又且定义|MB|＝|MF|，且|MN|＝|MF|，所以|NF|＝|NM|＋|MF|＝2|MB|＝6.答案：6【命题透视】1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的第一问的形式命题．2．直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查．热点1圆锥曲线的定义及标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|＝d(d为点M到准线的距离，点F不在准线上)．温馨提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误．2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0)．[例1](1)(2017·山西临汾一中质检)已知等腰梯形ABCD的顶点都在抛物线y2＝2px(p＞0)上，且AB∥CD，CD＝2AB＝4，∠ADC＝60°，则点A到抛物线的焦点的距离是________．(2)(2017·天津卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x23－y2＝1D．x2－y23＝1解析：(1)由题意设A(x1，1)，D(x1＋3，2)，所以1＝2px1，4＝2p(x1＋3)⇒p＝32，x1＝33，所以点A到抛物线的焦点的距离是x1＋p2＝33＋34＝7312.(2)依题意知c＝2，ba＝tan60°＝3.又a2＋b2＝c2＝4.解得a2＝1，b2＝3.故双曲线的方程为x2－y23＝1.答案：(1)7312(2)D[规律方法]1．凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化到准线的距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快．2．求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”．所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．[变式训练](1)(2016·天津卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为()A.x24－y2＝1B．x2－y24＝1C.3x220－3y25＝1D.3x25－3y220＝1(2)已知椭圆x24＋y22＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是________．解析：(1)依题意得，ba＝12，①又a2＋b2＝c2＝5，②联立①②得a＝2，b＝1.所以所求双曲线的方程为x24－y2＝1.(2)由椭圆的方程可知a＝2，c＝2，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1.又|F1F2|＝2c＝22，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，则△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F1为直角，所以S△PF1F2＝12|F1F2||PF2|＝12×22×1＝2.答案：(1)A(2)2热点2圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝ca＝1－b2a2.(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝ca＝1＋b2a2.2．双曲线的渐近线(1)双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程y＝±bax.(2)双曲线y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程y＝±abx.3．抛物线的焦点坐标与准线方程(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点Fp2，0，准线方程x＝－p2.(2)抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点F0，p2，准线方程y＝－p2.[例2](1)(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34(2)(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：(1)如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·b2.所以e＝ca＝12.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义得|AF|＝y1＋p2，|BF|＝y2＋p2，|OF|＝p2，又因为|AF|＋|BF|＝4|OF|，所以y1＋y2＋p＝2p，即y1＋y2＝p.由x2a2－y2b2＝1，x2＝2py消去x2，整理得a2y2－2b2py＋a2b2＝0，所以y1＋y2＝2pb2a2，所以2b2a2p＝p⇒b2a2＝12⇒ba＝22.所以双曲线渐近线方程为y＝±22x.答案：(1)B(2)y＝±22x[规律方法]1．确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式．建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．2．求双曲线渐近线方程关键在于求ba或ab的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．[变式训练](1)(2016·北京卷)双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________．(导学号55410052)(2)(2017·德州二模)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若S△AOB＝23，则双曲线的离心率e＝()A.32B.72C．2D.13解析：(1)取B为双曲线右焦点(如图)．因为四边形OABC为正方形且边长为2，所以c＝|OB|＝22，又∠AOB＝π4，所以ba＝tanπ4＝1，即a＝b.又a2＋b2＝c2＝8，所以a＝2.(2)因为抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1.不妨设点A在点B的上方，则A－1，ba，B－1，－ba.所以|AB|＝2ba.又S△AOB＝12×1×2ba＝23，所以b＝23a，则c＝a2＋b2＝13a.因此双曲线的离心率e＝ca＝13.答案：(1)2(2)D热点3直线与圆锥曲线(多维探究)1．判断直线与圆锥曲线的公共点有代数法与几何法两种2．直线与圆锥曲线相交的弦长公式设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入．即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2.3．过抛物线焦点的弦长抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝p24，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.命题视角1直线与圆锥曲线的位置关系[例3－1](2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH||ON|；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．解：(1)由已知得M(0，t)，Pt22p，t，又N为M关于点P的对称点，故Nt2p，t，故ON的方程为y＝ptx，将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝2t2p，因此H2t2p，2t.所以N为OH的中点，即|OH||ON|＝2.(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：直线MH的方程为y－t＝p2tx，即x＝2tp(y－t)．代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，所以直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点．[规律方法]1．(1)本题求解的关键是求点N，H的坐标．(2)第(2)问将直线MH的方程与曲线C联立，根据方程组的解的个数进行判断．2．(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．命题视角1有关弦中点、弦长问题[例3－2]在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b≥1)过点P(2，1)，且离心率e＝32.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．解：(1)因为e2＝c2a2＝a2－b2a2＝34，所以a2＝4b2.又4a2＋1b2＝1，所以a2＝8，b2＝2.故所求椭圆C的方程为x28＋y22＝1.(2)设l的方程为y＝12x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y＝12x＋m，x28＋y22＝1，整理得x2＋2mx＋2m2－4＝0，判别式Δ＝16－4m2＞0，即m2＜4.又x1＋x2＝－2m，x1·x2＝2m2－4，则|AB|＝1＋14×（x1＋x2）2－4x1x2＝5（4－m2），点P到直线l的距离d＝|m|1＋14＝2|m|5.因