1解三角形易错题解析

-1-易错题解析例题1在不等边△ABC中，a为最大边，如果abc222，求A的取值范围。错解：∵abcbca2222220，∴。则cosAbcabc22220，由于cosA在（0°，180°）上为减函数且cos90090°，∴°A又∵A为△ABC的内角，∴0°＜A＜90°。辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是a为最大边，而错解中只把a看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。正解：由上面的解法，可得A＜90°。又∵a为最大边，∴A＞60°。因此得A的取值范围是（60°，90°）。例题2在△ABC中，若abAB22tantan，试判断△ABC的形状。错解：由正弦定理，得sinsintantan22ABAB即sinsinsincoscossinsinsin2200ABAABBAB·，∵，∴，即sincossincossinsinAABBAB22。∴2A＝2B，即A＝B。故△ABC是等腰三角形。辨析：由sinsin22AB，得2A＝2B。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。正解：同上得sinsin22AB，∴2A＝22kB或222AkBkZ()。∵000AbkAB，，∴，则或AB2。故△ABC为等腰三角形或直角三角形。例题3在△ABC中，A＝60°，b＝1，SABC△3，求abcABCsinsinsin的值。错解：∵A＝60°，b＝1，SABC△3，又SABC△12bcAsin，∴312csin60°，解得c＝4。由余弦定理，得abcbcA222116860coscos°13又由正弦定理，得sinsinCB6393239，。∴abcABCsinsinsin1314323239639。辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。正解：由已知可得ca413，。由正弦定理，得213602393RaAsinsin°。∴abcABCRsinsinsin22393。例题4在△ABC中，c62，C＝30°，求a＋b的最大值。-2-错解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。由正弦定理，得aAbAsinsin()sin1506230°°∴aA262()sin，bA262150()sin()°又∵sinsin()AA11501，°∴ab262262462()()()。故ab的最大值为462()。辨析：错因是未弄清A与150°－A之间的关系。这里A与150°－A是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA与sin(150°－A)不能同时取最大值1，因此所得的结果也是错误的。正解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。由正弦定理，得aAbAsinsin()sin1506230°°因此abAA262150()[sinsin()]°2(62)sin75cos(75)624(62)cos(75)4(843)cos(75)843AAA·°°·°°∴a＋b的最大值为843。例题5在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A。错解：由余弦定理，得cabab222215cos°624822228434×××∴c62。又由正弦定理，得sinsinAaCc12而0000018030150AAA，∴＝或。辨析：由题意ba，∴BA。因此A＝150°是不可能的。错因是没有认真审题，未利用隐含条件。在解题时，要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生。正解：同上cAba6212，，∵sin，000018030BAAA∴，且，∴。例题6在△ABC中，coscosAb，判断△ABC的形状。错解：在△ABC中，∵aAbBcoscos，由正弦定理得22RAARBBsincossincos∴sinsin222222180ABABAB，∴且°∴A＝B且A＋B＝90°故△ABC为等腰直角三角形。辨析：对三角公式不熟，不理解逻辑连结词“或”、“且”的意义，导致结论错误。正解：在△ABC中，∵aAbBcoscos，由正弦定理，得2222RAARBBABsincossincossinsin，∴。∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，∴A＝B或A＋B＝90°。-3-故△ABC为等腰三角形或直角三角形。例题7若a，b，c是三角形的三边长，证明长为abc，，的三条线段能构成锐角三角形。错解：不妨设0abc，只要考虑最大边的对角θ为锐角即可。cos()()()abcababcab22222。由于a，b，c是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有abc，即cos0。∴长为abc，，的三条线段能构成锐角三角形。辨析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②最长线段的对角是锐角。显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件。正解：由错解可得cos0又∵abcabcabcabc()()2()20abcabcababcabcabc即长为abc，，的三条线段能构成锐角三角形。典型题1、若ABC的内角A满足2sin23A，则sincosAAA.153B．153C．53D．53解：由sin2A＝2sinAcosA0，可知A这锐角，所以sinA＋cosA0，又25(sincos)1sin23AAA，故选A2、如果111ABC的三个内角的余弦值分别等于222ABC的三个内角的正弦值，则A．111ABC和222ABC都是锐角三角形B．111ABC和222ABC都是钝角三角形C．111ABC是钝角三角形，222ABC是锐角三角形D．111ABC是锐角三角形，222ABC是钝角三角形解：111ABC的三个内角的余弦值均大于0，则111ABC是锐角三角形，若222ABC是锐角三角形，由211211211sincossin()2sincossin()2sincossin()2AAABBBCCC，得212121222AABBCC，那么，2222ABC，所以222ABC是钝角三角形。故选D。3、ABC的三内角,,ABC所对边的长分别为,,abc设向量(,)pacb,(,)qbaca,若//pq,则角C的大小为(A)6(B)3(C)2(D)23【解析】222//()()()pqaccabbabacab，利用余弦定理可得2cos1C，即-4-1cos23CC，故选择答案B。【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。4、已知等腰ABC△的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是（）Ａ．32Ｂ．3Ｃ．158Ｄ．157解：依题意，结合图形可得15tan215A，故221522tan15152tan7151tan1()215AAA，选D5、ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且2ca，则cosBA．14B．34C．24D．23解：ABC中，a、b、c成等比数列，且2ca，则b=2a，222cos2acbBac=222242344aaaa，选B.6、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=3,a=3,b=1，则c=(A)1（B）2（C）3—1（D）3解：由正弦定理得sinB＝12，又ab，所以AB，故B＝30，所以C＝90，故c＝2，选B7、设,,abc分别是ABC的三个内角,,ABC所对的边，则2abbc是2AB的（A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而充分条件（D）既不充分又不必要条件解析：设,,abc分别是ABC的三个内角,,ABC所对的边，若2abbc，则2sinsin(sinsin)ABBC，则1cos21cos2sinsin22aBBC，∴1(cos2cos2)sinsin2BABC，sin()sin()sinsinBAABBC，又sin()sinABC，∴sin()sinABB，∴ABB，2AB，若△ABC中，2AB，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到2abbc，所以2abbc是2AB的充要条件，选A.8、在ABC中，若sin:sin:sin5:7:8ABC，则B的大小是___________.解：sin:sin:sin5:7:8ABCabc＝578设a＝5k，b＝7k，c＝8k，由余弦定理可解得B的大小为3.9、在ABC中，已知433a，b＝4，A＝30°，则sinB＝.32-5-解：由正弦定理易得结论sinB＝32。10、在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识【正确解答】由正弦定理得，sin45sin60ACBC解得46AC【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理11、已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为．解析:由ABC的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而A+B+C=可得3BAD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得3AD。本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。12、在△ABC中，已知5,8ACBC，三角形面积为12，则C2cos.解：由三角形面积公式，得1sin20sin122BCCACC，即3sin5C．于是27cos212sin25CC从而应填725．