2020版高考数学填空题解题技巧

1高考数学中填空题的解题技巧填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题．因而求解选择题的有关策略、方法有时也适用于填空题．根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：一是定量型，要求填写数值、数集或数量关系，如方程的解，不等式的解集，函数的定义域、值域、最大值或最小值，线段长度，角度大小等．由于填空题和选择题相比，缺少选项的信息，所以高考题多以定量型问题出现。二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质，如给定二次曲线的焦点坐标、离心率等，近几年又出现了定性型的具有多重选择性的填空题。同选择题一样，这里仅对特殊值法、构造法、推理法、综合分析法作一分析。21直接法直接求解型试题的特点是必须根据题目中给出的条件，通过数学计算得出正确论．解决此类问题需要直接从题设条件出发，利用有关性质或结论等，通过巧妙变化，简化计算过程．解题过程中要灵活地运用相关的运算规律和技巧，合理转化、巧妙处理已知条件．例1(2019年全国Ⅱ卷)已知()fx是奇函数，且当0x时，()eaxfx=−．若(ln2)8f=，则a=_____．【解析】当0x时，0x−，()axfxe−−=−．因为函数()fx为奇函数，所以当0x时，()()axfxfxe−=−−=，所以ln21(ln2)()82aafe−===，所以3a=−．例2(2019年全国Ⅲ卷)设12FF，为椭圆C：22+13620xy=的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若12MFF为等腰三角形，则M的坐标为_____．【解析】不妨令1F，2F分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知36204c=−=．因为12MFF为等腰三角形，所以易知1||28FMc==．所以2||284FMa=−=．设(,)Mxy则22222113620||(4)64xyFMxy+==++=，且0,0xy得315xy==，所以M的坐标为(3,15)．例3(2019年江苏卷)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．【解析】记3名男同学为A，B，C，2名女同学为a，b，则从中任选2名同学的情况有(,)AB，(,)AC，(,)Aa，(,)Ab，(,)BC，(,)Ba，(,)Bb，(,)Ca，(,)Cb，(,)ab，共10种，其中至少有1名女同学的情况有(,)Aa，(,)Ab，(,)Ba，(,)Bb，(,)Ca，(,)Cb，(,)ab，共7种，故所求概率为710．【归纳总结】从已知条件入手，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识解决问题，得出结论．用直接法解填空题，应对教材中的定义及其性质、定理及其推论、公式及其变形熟练掌握，还要做到:快、稳、全、细、回，其中“回”是指解答之后要回顾，即再审题，这是最基本的一个环节，可以避免审题上带来的某些明显错误．32特殊值法当已知条件中含有某些不确定的量，但结论唯一或题设条件中提供的信息暗示结果是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当的特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证结果的正确性，一般应多取几个特例．例4(2017北京)能够说明“设a，b，c是任意实数．若abc，则abc+”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．【解析】取1a=−，2b=−，3c=−，满足abc，但3abc+=−=，不满足abc+，故“设a，b，c是任意实数．若abc，则abc+”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为1,2,3−−−．例5已知函数()fx满足：1(1)4f=，4()()()()fxfyfxyfxy=++−(x，y∈R)，则f(2018)=．【解析】令1x=，0y=，则4(1)(0)(10)(10)2(1)fffff=++−=，所以1(0)2f=．令1xy==，则22111(2)4(1)(0)4()424fff=−=−=−．用1x+替换x，令1y=，则4(1)(1)(11)(11)(2)()fxffxfxfxfx+=++++−=++整理，得(1)(2)()fxfxfx+=++，①同理可得(2)(3)(1)fxfxfx+=+++．②由①+②得，(3)()fxfx+=−，所以(6)((3)3)(3)()fxfxfxfx+=++=−+=，即()fx是以6为周期的周期函数，于是1(2018)(33662)(2)4fff=+==−．例6在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，则coscos1coscosACAC+=+．【解析】由题意，所求数值是一个定值，故可利用满足条件的直角三角形进行计算．令a=3，b=4，c=5，则△ABC为直角三角形，且4cos5A=，cos0C=，则coscos1coscosACAC+=[phone]+=+．【归纳总结】用特殊值法求解仅限于结论只有一种情况的填空题，对开放性的问题或有多种结论的填空题，就不能使用这种方法．43构造法在立体几何中补形构造是最为常用的解题技巧，它能将一般几何体的有关问题通过补形构造成特殊的几何体进行求解，此种方法适用于已知几何体中的长度、角度等部分几何度量问题．例7(2017天津)在△ABC中，60A=，AB=3，AC=2．若2BDDC=，AEACAB=−（R），且4ADAE=−，则的值为．【解析】以点A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，不妨假设点C在第一象限，则(0,0)A，(3,0)B，(1,3)C．由2BDDC=，得523(,)33D，由AEACAB=−，得(3,3)E−，则52352311(,)(3,3)(3)35433333ADAE=−=−+=−=−，则311=．例8(2016北京)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种．【解析】设第一天售出的商品为集合A，则A中有19个元素，第二天售出的商品为集合B，则B中有13个元素，第三天售出的商品为集合C，则C中有18个元素，由于前两天都售出的商品有3种，则A∩B中有3个元素，后两天都售出的商品有4种，则B∩C中有4个元素，所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16种，这三天售出的商品种数最少时，第一天和第三天售出的种类重合最多，由于前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，故第一天和第三天都售出的商品可以有17种，即A∩C中有17个元素，如图，即这三天售出的商品最少有2+14+3+1+9=29种．yxCBA5例9设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是．【解析】依题意，构造四面体ABCD，使AB=a，CD=2，AD=AC=BC=BD=1，如图所示，取CD的中点E，连接AE，BE．因为AC=AD=1，CD=2，所以222ACADCD+=．故AC⊥AD．在等腰直角△ACD中，E为斜边CD的中点，所以1222AECD==．同理可得22BE=，因为AE+BEAB，所以2222a+，即0a2．故a的取值范围是(0，2)．【归纳总结】构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．64推理法例10(2019年北京)已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__．【解析】若l⊥，lm⊥，则m∥，显然①③②正确；若lm⊥，m∥，则l∥，l与相交但不垂直都可以，故①②③不正确；若l⊥，m∥，则l垂直内所有直线，在内必存在与m平行的直线，所以可推出lm⊥，故②③①正确．（答案不唯一）例11(2018年全国卷Ⅰ)记nS为数列{}na的前n项和，若21nnSa=+，则6S=____．【解析】通解因为21nnSa=+，所以当1=n时，1121=+aa，解得11=−a；当2=n时，12221+=+aaa，解得22=−a；当3=n时，123321++=+aaaa，解得34=−a；当4=n时，1234421+++=+aaaaa，解得48=−a；当5=n时，12345521++++=+aaaaaa，解得516=−a；当6=n时，123456621+++++=+aaaaaaa，解得632=−a．所以61248163263=−−−−−−=−S．优解因为21nnSa=+，所以当1=n时，1121=+aa，解得11=−a，当2≥n时，112121−−=−=+−−nnnnnaSSaa，所以12−=nnaa，所以数列{}na是以1−为首项，2为公比的等比数列，所以12−=−nna，所以661(12)6312−−==−−S．7例12(2017北京)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．【解析】令男学生、女学生、教师人数分别为,,xyz，且xyz，①若教师人数为4，则48yx，当7x=时，y取得最大值6．②当1z=时，12zyx=，不满足条件；当2z=时，24zyx=，不满足条件；当3z=时，36zyx=，4y=，5x=，满足条件．所以该小组人数的最小值为34512++=．【归纳总结】类比推理法多用于新定义型填空题，起点较高，落点低，只要能读懂题，认真地归纳、类比即可得出结论．但在推理的过程中要严格按照定义的法则或者相关的定理进行，归纳推理和类比推理也要依据自身的推理法则，不能妄加推测．85综合分析法例13已知数列{}na满足21nnnaaa++=+(*nN)，1nnaa+，*naN，数列{}nb是公比为2的等比数列，*nbN，若10102018ab=，则11ab+的值是．【解析】因为数列{}nb是公比为2的等比数列，所以112nnbb−=，因为910122018bb=，且*1bN，所以1b{1，2，3}．由21nnnaaa++=+得1098872aaaaa=+=+=7621323421aaaa+==+．若11b=，则910102512ab===，从而213421512aa+=，2212512348(1)2422121aaaa−+==−+，因为*naN，所以2121ak+=(*kN)，所以1242(211)826340akkk=−−+=−，不合题意，所以11b；若12b=，则10101021024ab===4，从而2134211024aa+=，22121024341684822121aaaa−+==−+，分析可取219a=，得118a=，符合题意；若13b=，则91010321536ab===，从而2134211536aa+=，2212153634387322121aaaa−+==−+，分析可取239a=，得110a=，符合题意．综上所述，11103ab==或11182ab==，故11ab+=13或20．9例14(2018年江苏)已知集合*{|21,}Axxnn==−N，*{|2,}nBxxn==N．将AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}na．记nS为数列{}na的前n项和，则使得112nnSa+成立的n的最小值为．【解析】所有的正奇数和2n(*nN)按照从小到大的顺序排列构成{}na，在数列{}na中，52前面有16个正