高三一轮复习--函数的性质(周期性和对称性)复习练习题

1函数周期性和对称性（知识点，练习题）一．定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使)()(xfTxf恒成立则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。二．重要结论1、fxfxa，则yfx是以Ta为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。3、若函数fxafxa，则xf是以2Ta为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=xf1(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。5、若函数y=f(x)满足f(x+a)=xf1(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。6、1()()1()fxfxafx，则xf是以2Ta为周期的周期函数.7、1()()1()fxfxafx，则xf是以4Ta为周期的周期函数.8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(ba)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。9、函数()yfxxR的图象关于两点0,Aay、0,Bbyab都对称，则函数()fx是以2ba为周期的周期函数；10、函数()yfxxR的图象关于0,Aay和直线xbab都对称，则函数()fx是以4ba为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0),则f(2T)=0.三函数的轴对称：定理1：如果函数yfx满足faxfbx，则函数yfx的图象关于直线2abx对称.推论1：如果函数yfx满足faxfax，则函数yfx的图象关于直线xa对称.2推论2：如果函数yfx满足fxfx，则函数yfx的图象关于直线0x（y轴）对称四函数的点对称：定理2：如果函数yfx满足2faxfaxb，则函数yfx的图象关于点,ab对称.推论3：如果函数yfx满足0faxfax，则函数yfx的图象关于点,0a对称.推论4：如果函数yfx满足0fxfx，则函数yfx的图象关于原点0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.五函数周期性的性质：定理3：若函数fx在R上满足()faxfax，且()fbxfbx（其中ab），则函数yfx以2ab为周期.定理4：若函数fx在R上满足()faxfax，且()fbxfbx（其中ab），则函数yfx以2ab为周期.定理5：若函数fx在R上满足()faxfax，且()fbxfbx（其中ab），则函数yfx以4ab为周期.以上几类情形具有一定的迷惑性,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析.例1．已知定义为R的函数fx满足4fxfx，且函数fx在区间2,上单调递增.如果122xx，且124xx，则12fxfx的值（）.A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负.分析：4xfxf形似周期函数4xfxf，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用2x代替x，使4xfxf变形为22xfxf.它的特征就是推论3.因此图象关于点0,2对称.fx在区间,2上单调递增，在区间2,上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.（如图）1242xx，且函数在,2上单调递增，所以124xfxf，又由4xfxf，有1111444)4(xfxfxfxf，20321xfxf114xfxf011xfxf.选A.当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.练1：在R上定义的函数()fx是偶函数，且()fx(2)fx.若()fx在区间[1,2]上是减函数，则()fx()A.在区间[2,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数B.在区间[2,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C.在区间[2,1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D.在区间[2,1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数分析：由()(2)fxfx可知()fx图象关于x1对称，即推论1的应用.又因为()fx为偶函数图象关于0x对称，可得到()fx为周期函数且最小正周期为2，结合()fx在区间[1,2]上是减函数，可得如右()fx草图.故选B练2.定义在R上的函数)(xf既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程0)(xf在闭区间TT,上的根的个数记为n，则n可能为（）A.0B.1C.3D.5分析：()()0fTfT，()()()()2222TTTTfffTf，∴()()022TTff，则n可能为5？例2．已知函数yfx的图象关于直线2x和4x都对称，且当10x时，xxf.求5.19f的值.分析：由推论1可知，yfx的图象关于直线2x对称，即xfxf22，同样，xf满足xfxf44，现由上述的定理3知yfx是以4为周期的函数.5.3445.19ff5.3f5.05.04ff，同时还知xf是偶函数，所以5.05.05.0ff.例3．39821583214fxfxfxfx，则0f，1f，2f，…，999f中最多有（）个不同的值.A.165B.177C.183D.199分析：由已知39821583214fxfxfxfx1056fx41760704352fxfxfx.又有39821583214fxfxfxfx1056fx21581056fx11021102105646fxfxfx，于是)(xf有周期352，于是0,1,,999fff能在0,1,,351fff中找到.又)(xf的图像关于直线23x对称，故这些值可以在23,24,,351fff中找到.又)(xf的图像关于直线199x对称，故这些值可以在23,24,,199fff中找到.共有177个.选B.练3：已知113xfxx，1fxffx，21fxffx，…，1nnfxffx，则20042f（）.分析：由113xfxx，可令x=f（x）知1131xfxx，2131xfxfxx，3fxfx.)(xf为迭代周期函数，故3nfxfx，2004fxfx，20041227ff即将x=-2带进原函数中练4：函数)(xf在R上有定义，且满足)(xf是偶函数，且02005f，1gxfx是奇函数，则2005f的值为.解：11gxfxgxfx，11fxfx，令1yx，则2fyfy，即有20fxfx，令nafx，则20nnaa，其中02005a，10a，20052nnnaii，20052005fa2005200520052ii0.或有2fxfx，得2005200320011999ffff10f.练习：1、判断函数f(x)=的奇偶性解：由题∴函数的定义域为[－1,0)∪(0,1]2|2|12xx02|2|012xx220)1)(1(xxx4011xxx且5故f(x)是奇函数六、抽象函数奇偶性的判定与证明例4.已知函数()fx对一切,xyR，都有()()()fxyfxfy，（1）求证：()fx是奇函数；（2）若(3)fa，用a表示(12)f解：（1）显然()fx的定义域是R，它关于原点对称．在()()()fxyfxfy中，令yx，得(0)()()ffxfx，令0xy，得(0)(0)(0)fff，∴(0)0f，∴()()0fxfx，即()()fxfx，∴()fx是奇函数．（2）由(3)fa，()()()fxyfxfy及()fx是奇函数，得(12)2(6)4(3)4(3)4ffffa．七、利用函数奇偶性求函数解析式或求值练习：已知()fx是R上的奇函数，且当(0,)x时，3()(1)fxxx，则()fx的解析式为33(1),0()(1),0xxxfxxxx新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆例7已知函数xxxxf11log)(2，求)20051(f+)20041(f+)20041(f+)20051(f的值解：由011xx得函数的定义域是)1,1(又01log11log11log)()(222xxxxxfxf)()(xfxf成立，函数是奇函数)20051(f+)20051(f=0)20041(f+)20041(f=0∴)20051(f+)20041(f+)20041(f+)20051(f=0例8设函数为奇函数，则－1解析:∵f(x)=,∴f(－x)=－又∵f(x)为奇函数,∴f(x)=－f(－x).∴=.∴axaxaxax)1()1(22∴a=－1.2)2(12xxxx21xxxf2)(1)(又xx216练习：已知babxaxxf3)(2是偶函数，定义域为aa2,1，则a31，b=0解：3121aaa，0b？3、设偶函数)(xf对任意Rx，都有)(1)3(xfxf，且当2,3x时，xxf2)(,则)5.113(f的值为(D)A.72B.72C.51D.51解：)()3(1]3)3[()6()(1)3(xfxfxfxfxfxf51)5.2(1)5.03(1)5.0()5.06()5.5(5.56185.1136)(fffffffTxf）（）（为周期的周期函数是以例13、已知)(xf是周期为4的偶函数，当3,2x时，xxf)(，求)5.1(),5.6(ff，)5.5(f解：)()(xfxf，)()4(xfxf5.2)5.2()5.24()5.6(ff