方程的数值解法

学科分类号110.6199本科毕业论文题目方程的数值解法姓名谢相渝学号1006020540016院（系）数学与计算机科学学院专业数学与应用数学年级2010级指导教师雍进军职称讲师二〇一四年五月贵州师范学院本科毕业论文诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。本科毕业论文作者签名：年月日I目录摘要............................................................11绪论............................................................21.1研究该问题目的及意义..........................................21.2本文的主要研究对象...........................................22两种常用的数值解法..............................................32.1非线性方程数值解法的基本思想..................................32.2NEWTON迭代法...................................................42.3二分法........................................................53NEWTON迭代法，二分法的比较....................................73.1NEWTON迭代法，二分法求解方程的比较.............................7总结..............................................................9参考文献.........................................................10致谢...........................................................11附录.............................................................121摘要在自然和工程技术中有很多的数学问题需要使用到各类方程进行计算解决，而如何解方程成为了解决这一系列问题的最基本且核心的内容，解各种类型方程的过程中又有有着许多优秀的数值方法。本文就牛顿迭代法，二分法的解题原理进行研究，计算讨论它们，比较它们在解非线性方程的过程中的优缺点和实用性。关键词：非线性方程;近似解;牛顿迭代法;二分法AbstractTherearemanymathematicalproblemsneedtouseallkindsofequationsaresolvedinthenatureandengineeringtechnology,andhowtosolvetheequationtosolveaseriesofproblemsofthemostbasicandcorecontent,solutionprocessvarioustypesofequationsandhasmanyexcellentnumericalmethod.Thisiterativemethod,theproblemofcomputingprincipledichotomy,discussthem,makeitbecomethebridgetosolveengineeringproblems.Keywords:nonlinearequations;approximatesolution;iterativemethod;dichotomy21绪论1.1研究该问题目的及意义随着科学技术的高速发展，科学家们在研究一些自然现象、社会和工程问题时会转化为各种各样的数学问题，而最终这些问题都能转化为求特定方程解的问题，例如非线性断裂问题，电路问题，电子系统等，都可以转化为求非线性方程。如果我们将问题成功转化求方程，就可以通过各种不同的方法解出方程。如何求出方程的解就成为了解决各类问题的基础依据和重点难题。1.2本文的主要研究对象本论文将从非线性方程入手，主要探讨牛顿迭代法，二分法两种求解非线性方程的问题，依据两种方法的不同，比较它们在解决方程上的优缺点。32两种常用的数值解法2.1非线性方程数值解法的基本思想在求解方程的过程中，我们常常无法入手，其实这是对于方程理解不够深入，在经过逐步的分析判断后，找到一种合适的方法可以让我们快速的解方程。所以有效选择正确的方法是首位，也是最重要的。其次，确定方程的解法之后我们要做的是计算，通过缩小区间范围，搜索零点等步骤，在允许的误差范围内进行有限次的运算，公式的推导，检验结果，最终求得方程在该区间上的根。当)(xf是超越函数或者更高次多项式的时候，0)(xf称为非线性方程。非线性方程除了个别特例外，多数只能求出他的近似解。在实际问题中，常用到求解非线性方程的根。方程0)(xf的根叫做)(xf的零点。通过连续函数的性质可以得知：如果)(xf在闭区间],[ba上连续，并且0)()(bfaf，那么0)(xf在ba,内至少有一个实根。此时称],[ba是方程0)(xf根的存在区间。一般的求解非线性方程根是数值解法分为三个步骤：1)判断根的存在性：方程是否有根？如果有，那么有几个根？2)确定根的范围：将每一个根利用区间分开，了解方程根的近似值大概位置。3)将根精确化：通过各种方法逐渐精确化方程的根，在区间内求出最终精确要求的根。求解非线性方程的时候就需要用到常用的几种方法，如：牛顿迭4代法，二分法。2.2Newton迭代法2.2.1Newton迭代法的定义因为在方程中，有许多方程不存在求根公式，因此我们想要得到一个方程的精确解很困难，甚至不能求出。所以牛顿在17世纪提出的一种求解方程在实数域和复数域上近似解的方法，即Newton迭代法。在多数的情况下，得不到一般数学方法的函数表达式，难以找到原函数。所以线性方程的求解让人望而却步，往往因为计算量太大而无法有效计算，因此可以利用数值解法来求解。牛顿迭代法就是方程的数值解法中一个重要的计算方法和思想。2.2.2Newton迭代公式Newton迭代法的主要思想是通过使用函数)(xf的泰勒级数的前几项来寻找0)(xf的根。假设r是0)(xf的根，估计一个初始值0x作为r的初始值，过点))(,(00xfx做曲线)(xfy的切线L，求出L与X轴交点坐标，把1x记作r的一次近似解。再通过点))(,(11xfx做曲线)(xfy的切线，得到一个与X轴的交点2x，称2x是r的二次近似解。重复上述过程依次求出3x，4x……nx，得到一个r的近似值序列，其中的)()('1nnnnxfxfxx称为r的n+1次近似值，上述称为牛顿迭代公式。2.2.3Newton迭代法的优缺点5Newton迭代法最大的优点是在方程0)(xf的单根附近拥有平方收敛，并且它还可以用来求解方程的重根，复根。能够快速的解出方程的解。例如：假设一个函数)(xfy，方程0)(xf在x=r处有一个根，我们先估计一个初始值0x，在0)(xxf处作该曲线的切线，并且将切线延长到与X轴相交。那么切线与X轴相交的点通常很接近r，我们将它作为下一个估计值1x，再次用同样的方法求出1)(xxf处切线与X轴的交点作为2x，依次类推，这样无限做下去，所得的X轴截距的序列就很接近与根r。这样的方法既简便，又易懂，而且还能快速求出根。并且随着当今计算机技术的飞速发展，可以通过各种软件更快速的计算出方程的根。当然牛顿迭代法的缺点也很明显，因为每次迭代都是简单的重复运算，随着迭代次数的增加，迭代所需要的时间也会加长,在重根附近收敛速度会降阶，每次都要计算函数及其导数值，计算量大。2.3二分法2.3.1二分法的定义二分法的是一种通过把方程的区间均分为两个区间，找出含有根的区间，将含有根的小区间再分成两个更小的区间，再进一步的通过根所在的区间将更小的区间再平均细分，如此反复下去，直至有根的区间足够的小，得出满足精度要求的近似值位置，选定它作为方程60)(xf的近似根的方法。在例子中通过上述的过程，将二分法的具体计算过程演示如下例1用二分法求方程013xx在区间[1,1.5]上的根，误差限制为210，问至少需要对分多少次？解：a=1,b=1.5,210;k12lnln)ln(ab=12ln10ln)15.1ln(24.64k=5二分法的步骤主要分为：1)求出)(xf在有根区间ba,端点处的值)(),(bfaf.2)“二分”，在区间中点2ba处，计算)2(baf的值。3)判断检验如果0)2(baf，那么2ba就是方程的根。如果0)()2(afbaf，就用2ba代替b，如果不是，那么2ba代替a。反复步骤2，3，直到区间ba,长度满足误差，2ba就是方程所求的近似根。2.3.2二分法的优缺点优点：通过二分法解方程，能够快速的缩小零点所在的区间，即使区间再大，也能有效的进行计算，求出满足精度要求的根，并且对于方程的要求并不是很高，只需要函数连续就能进行简单计算。它作为一种计算机时代重要的数学方法，为我们快速解决方程提供了便利。缺点：如果方程中出现多个零点的情况时，只能算出其中的一个，7即使是)(xf在ba,上有零点，也不一定有0)()(bfaf。无法用来求解方程有两次重根的近似解。3Newton迭代法，二分法的比较3.1Newton迭代法，二分法求解方程的比较例2求方程12-3x+2cosx=0的实数解；使用matlab程序分别通过编写牛顿迭代法和二分法求解方程，通过二者求解方程比较得出两种方法的区别。实验程序见附录实验数据结果和分析表1牛顿迭代法程序结果迭代次数区间值：b区间值：a13.438282138662913.3199556816049223.319955681604923.3483632970400433.348363297040043.3474127204823343.347412720482333.3474028396087953.347412720482333.34740283960879表2：二分法程序结果迭代次数区间值：a区间值：b13.0000000000000003.50000000000000823.2500000000000003.5000000000000033.2500000000000003.3750000000000043.3125000000000003.37500000000000………………143.347351074218753.34741210937500153.347381591796883.34741210937500163.347396850585943.34741210937500173.347396850585943.34740447998047183.347396850585943.34740447998047实验结论通过表格1可以看出，在牛顿迭代法下，程序只迭代了4次以后和第5次的结果就一致，即程序迭代了4次达到了要求的实验误差。通过表格2看出，在二分法下，程序迭代了17次后和第18次的结果才一致了，也就是说程序迭代了17次才达到实验的误差范围。二者可以明显的比较看出牛顿迭代法的求解效率远远要优秀于二分法。对于二分法和迭代法的观察和分析之后，我们知道了，二分法的优点是方法简单，编程比较