线性空间定义

第三章线性空间3.1线性空间的定义3.2线性空间基与维数3.3线性映射与线性变换3.4特征向量与矩阵的对角化3.1线性空间的定义一线性空间定义二线性空间例子三线性空间的子空间设V是一个非空集合，在V上任意两元素元运算+满足如下性质：交换律,,V有结合律,,,V()()有OV使得对任意,V对任意存在V使得O1）2）3）存在4）一线性空间定义定义1对任意的对任意的O有,V,定义运算并记为,且,V设R为实数域，对V中的任意元素及R中的任意元素k定义运算并记为,k且,kV运算满足如下性质：k”“1律”15）结合律6）,,klRV()()()klkllk都有7）分配律,,klRV都有()klkl8）分配律,,kRV都有()kkk则称V为R上的一个线性空间，简称为实线性空间，线性空间中的元素称为向量。对任意的对任意的对任意的运算+称为加法运算，称为数乘运算，它们统称为k线性运算。OO称为零向量，,O若则称为的负向量，并把的负向量记为。注（1）零向量是唯一；设OO也是零向量，则OOO由零向量可得OOOO设12,都是的负向量，则11O12122O2（3）由负向量我们可以定义向量间的减法“-”：OO（2）负向量是唯一的；0;O（4）对数零0及任意向量有0;O00000（5）V若数0,k对有,kO则必有OkO11kOkk1kOkO（6）思考是否存在只有一个向量的线性空间？若存在只有一个向量的线性空间------这唯一的会是谁？称这样的空间为零空间。存在----这唯一的向量不是别的只能是零向量，0;O（4）对数零0及任意向量有0;O00000（5）1;（6）0O1(1)(1)1;;称这样的空间为零空间。进一步思考实向量空间的向量个数。思考是否存在一个向量的实线性空间？存在----这唯一的向量不是别的只能是零向量，要么一个（零空间），要么无数个（非零空间）。（7）若实线性空间不是零空间，（零空间），则实线性空间必要无数个向量。设实线性空间V不是零空间，则存在非零向量,V对不同实数12,kk必有12,kk（若12,kk这意味着12,kkO导致,O矛盾）。对实数k,kV当实数k遍历所有实数时k在V中产生无数个向量。综上所述对于实线性空间----要么只有一个向量要么无数个向量（非零空间）。（8）定义中的实数域可以是其它域如复数域、有限域,相应地称V为复数域、有限域上的线性空间。本书不作声明，都是指实数域上线性空间。简称线性空间。不过本书关于实数域上线性空间大部分理论对于一般域上线性空间也成立！二线性空间例子nR例1表示全体n维实向量形成的集合，即12,1ninaaRaRinanR关于n维实向量加法和数乘是线性空间。12,naaa即对12nbbb:kR1122,nnababab12,nkakakkanR显然在零向量00,0O12naaa向量的负向量12naaa注nR是最重要的实线性空间。类似有复线性空间nC例2设C是复数集，则复数集C关于复数的加法和实数乘复数为一个实线性空间。12,aaiC12,bbiCkR其中1212,,,,aabbR21.i则1122ababi12kkakai在实线性空间C中零向量为数字0；12aai的负向量12aai例3mn阶实矩阵全体mnM关于矩阵线性运算是一个线性空间(实矩阵空间）。特别的n阶实方阵全体nM关于矩阵线性运算是一个线性空间。111212122212,nnmmmnaaaaaaAaaa111212122212nnmmmnbbbbbbBbbb,mnMkR111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab111212122212,nnmmmnkakakakakakakAkakaka111212122212nnmmmnaaaaaaAaaamnM中的零向量为mn零矩阵。向量的负向量111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa注nR是实矩阵空间1nM例4定义在集合D实值函数全体记为.F对,,fgF定义fgxfxgxkRkfxkfxxD则F关于“+”与kf成为一个线性空间(函数空间）。在函数空间F零向量为常值函数0，即xD对任意0Ox有f向量的负向量是f例5实系数多项式全体记为,Rx则Rx关于多项式的加法于数乘多项式成为一个线性空间.2012,mmaaxaxaxRx2012,nnbbxbxbxRxkR100111mmnmmmnababxabxbxbx不妨假设mn2012mmkkakaxkaxkaxRx中零向量为零多项式向量的负向量2012mmaaxaxax例6设为V为空间里有向线段全体形成的集合有向线段定义+：定义数乘:k长度是长度的k倍。方向是当0k时与相同;当时与相反。kk0k空间的有向线段集V关于加法数乘是一个线性空间V中的零向量为零线段（长对为零的线段）的负向量设V是一个线性空间，V的非空子集W关于V的三线性空间的子空间定义2加法与数乘成为一个线性空间，则称W是线性空间V的一个线性子空间，（简称子空间）。注（1）子空间本身就是一个线性空间。为子空间是它在一个更大的线性空间里，之所以称其而且两者线性运算一样。（2）任何线性空间V都有子空间V和O（零子空间），它两成为V的平凡子空间。三线性空间的子空间线性空间V任意子集W未必是V的子空间。nR例线性空间的子集12100010,001nWeee不是nR的子空间。（为什么？）思考线性空间的一个子集不含零向量，这个子集是否有可能成为子空间。定理1线性空间V的非空子集W是V的子空间当且仅当,W1）对任意的有W2）对任意的,kRW有kW注（1）线性空间V的非空子集W是V的子空间当且仅当对加法与数乘封闭。（2）若,OW则W一定不是V的子空间（为什么？）。推论1线性空间V的非空子集W是V的子空间当且仅当对任意的,,,klRW有.klW推论1*线性空间V的非空子集W是V的子空间当且仅当对任意的11,,,mmkkRW有2m11mmkkW例7设S是n元齐次线性方程组解向量集，111122121122221122000nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax即A其中nSRAO为方程组的系数矩阵。显然S是nR的非空子集，且,S有A对任意即S对任意,kRS有AkkAkOO即kS定理2n元齐次线性方程组解向量集S是nR的子空间。OOOAA思考n元非齐次线性方程组解向量集是否是nR的子空间。例9n阶上（下）三角方阵全体是nM思考的一个非平凡线性子空间。记该子空间为nTM（1）请举出nTM一的个非平凡线性子空间，这样的子空间是的一个非平凡线性子空间吗？nM（2）一般地，若0V是的一个（非平凡）子空间，1V1V是的一个（非平凡）子空间,2V那么0V是否是的一个（非平凡）子空间？2V例8复数集C关于复数的加法与实数乘复数成实线性空间，C的真子集实数集R是C的一个非平凡线性子空间。例10定义在区间若F,ab实值函数全体，我们前面知道它关于函数的加法与常数乘函数形成线性空间。用,abC表示定义在区间,ab连续实值函数全体；,abD表示定义在区间,ab可导实值函数全体。则,abC是F的一个非平凡线性子空间；,abD是,abC的一个非平凡线性子空间；是F的一个非平凡线性子空间。,abD例11例12有向线段全体是V的一个非平凡子空间。nP表示次数小于n的实系数多项式全体，则nP是Rx的一个非平凡线性子空间。V为是空间有向线段全体关于有向线段的加法与数乘形成的线性空间。则在一个平面里的