1-6章数学分析课件第6章微分中值定理及其应用6-3

返回后页前页§3泰勒公式多项式函数是最简单的函数.用多项一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式三、在近似计算中的应用二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式要内容,也是数学的研究课题之一.式来逼近一般的函数是近似计算的重返回返回后页前页)(xf设在0xx处可导,由有限增量公式)())(()()(0000xxoxxxfxfxf当||0xx充分小时,)(xf可以由一次多项式))(()(000xxxfxf近似地代替,其误差为)(0xxo.在许多情况下,一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式)(0xxo是不够的,而要考虑用较高次误差仅为的多项式来逼近f,使得误差更小,0(()).noxx如返回后页前页问题:是否存在一个n次多项式),(xPn使得?))(()()(nonxxoxPxf答案:当f(x)在点x0有n阶导数时,这样的n次多设0100()()(),nnnPxaaxxaxx则有什么关系？项式是存在的.现在来分析这样的多项式与f(x)返回后页前页000102(),(),()2!,,nnnPxaPxaPxa,!)(0)(nnnanxP即000012()()(),,,,1!2!nnnPxPxaPxaa()0().!nnnPxan上式表明Pn(x)的各项系数是由其在点x0的各阶设f(x)在x0处n阶可导.如果导数所确定的.返回后页前页即00()()lim0,()nnxxfxPxxx则不难得到:,,,2,1,0),()(0)(0)(nkxPxfknk)1(000()()()()1!nfxTxfxxx),)(()()(0nnxxoxPxf0.k其中表示不求导这时称)2(()00()().!nnfxxxn返回后页前页为f(x)在点x0的n阶泰勒多项式,称为泰勒系数.确实是我们所需要的多项式.)(xTn()0()(0,1,,)!kfxknk定理6.8设f(x)在x=x0处有n阶导数，则,))(()()(0nnxxoxTxf即200000)(!2)()(!1)()()(xxxfxxxfxfxf).)(()(!)(000)(nnnxxoxxnxf)3(返回后页前页只需证.0)()(lim0xQxRnnxx因为由（1）式，,0)()()(0)(00xRxRxRnnnn(1)()0000()()()0,()!nnnnnnQxQxQxQxn则当，时且00)(xxxUx连续使用n–1次洛必达法则,得到证设,)()(,)()()(0nnnnxxxQxTxfxR返回后页前页)(!)(lim)()(lim)()(lim0)1(100000xxnxRxxnxRxxxRnnxxnnxxnnxx.0)()()(lim!10)(00)1()1(0xfxxxfxfnnnnxx)(xf)3(式称为在点0x处的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式.注10)(xxf在点即使附近满足)4())(()()(0nnxxoxPxf返回后页前页也不能说明)(xPn一定是f(x)的n阶泰勒多项式.,0)(,)()(1xPxxDxfnn00x在处满足(4)但是当n1时,)(xPn不是f(x)在点的n阶泰勒多项式,原因是f(x)00x在点x=0的高阶导数(二阶和二阶以上)都不存比如在,所以无法构造n阶多项式.返回后页前页).)(()()(0nnxxoxTxf注3可以证明对任意一个n次多项式,)(xPn存在),(0xU使得).(,|)()(||)()(|0xUxxPxfxTxfnn这也就是说,)(xTn是逼近)(xf的最佳n次多项式.注2若f(x)在点x0有n阶导数,则只有惟一的多项式(泰勒多项式Tn(x))满足:返回后页前页在以后的应用中,公式(3)中的x0常被取作0,形)(!)0(!1)0(')0()()(nnxonfxffxf).(!)0(0)(nnkkkxoxkf此式称为(带有佩亚诺型余项)的麦克劳林公式.式变为返回后页前页麦克劳林(Maclaurin,C.1698-1746,苏格兰)泰勒(Taylor,B.1685-1731,英国)返回后页前页例1验证下列公式2e1();1!2!1.!nxnxxxoxn32112sin(1)();3!(21.)2!mmmxxxxoxm2221cos1(1)();2!(2)!3.mmmxxxoxm231ln(1)(1)();234.nnnxxxxxoxn返回后页前页211(6..)1nnxxxoxx以上这些公式均为最基本的泰勒公式(麦克劳林2(1)(1)152!.xxx);(!)1()1(nnxoxnn公式),请务必牢记.返回后页前页于是e的xn阶麦克劳林公式为).(!!2!11e2nnxxonxxx证这里仅验证1和6,其余请读者自己验证.验证1因为,e)()(xkxf所以.1)0()0()0()(nfff验证6设,11)(xxg则返回后页前页,)1(!1)(2xxg,,)1(!2)(3xxg故.!)0(,,!2)0(,!1)0(,1)0()(nggggn101xnx于是在的阶麦克劳林公式为,)1(!)(1)(nnxnxg).(1112nnxoxxxx返回后页前页例2求22()exfx的麦克劳林公式,并求)0()98(f解由例12e1(),1!2!!nxnxxxoxn那么2224222e1(1)().222!2!xnnnnxxxoxn由定理6.8的注2,可知上式就是22ex的麦克劳林.)0()99(f与返回后页前页公式,由泰勒系数公式可知,0)0(!991,!492)1(!981)99(4949)98(ff于是得到.0)0(,!492!98)0()99(49)98(ffx1例3求在点1x的泰勒公式.解)]1([11)1(111xxx21(1)(1)xx(1)(1)((1)).nnnxox返回后页前页下面这个例题是说明如何利用泰勒公式来求极限.例4求22330ln(1)esin1lim.xxxxx解因为),(2)1ln(4422xoxxx2424e1(),2!xxxox333sin(),xxox返回后页前页本题虽然可用洛必达法则来求,但上面的方法比所以较简单.22330ln(1)esinlimxxxxx3330()lim1.xxoxx返回后页前页前面讲的带有佩亚诺型余项的泰勒公式实际上是0(()).noxx下面是一个定量形式的泰勒公式.我们用泰勒多项式去替代函数,其误差为有限增量公式的一个推广,它只是定性地的告诉泰勒公式二、带有拉格朗日型余项的返回后页前页定理6.9(泰勒定理)若函数],[)(baxf在上存在直到n阶连续导函数,在(a,b)内存在(n+1)阶导数,则200000()()()()()()1!2!fxfxfxfxxxxx()(1)100()()(),(5)!(1)!nnnfxfxxnn或者(1)10()()()().(1)!nnnffxTxxxn0,[,],(,),xxabab对存在使其中nxxfxTn的在点是0)()(阶泰勒多项式.返回后页前页证设2()()!()()[()()()1!2!!!ftftnFtfxftxtxtrnr;])(!)()(nntxntf,)()(1ntxtG不妨设00(),()[,]xxFtGtxx，则在上连续,在),(0xx上可导,且0()(1)()0,[,).nGtnxttxx返回后页前页由柯西中值定理,得00()()()().()()()()FtFxFtFGtGtGxG因为(1)()()(),!nnftFtxtn所以(1)1()()().(1)!nnfFtxtn),,()[,)!1()()()(0,0)1(baxtnftGtFn返回后页前页为f(x)在点x0的n阶拉格朗日型余项,公式(5)于是就得到0,tx令(1)10()()()().(1)!nnnffxTxxxn我们称(1)10()()()()()(1)!nnnnfRxfxTxxxn称为f(x)在点x0的带有拉格朗日型余项的n阶注请比较公式(5)与拉格朗日中值定理.泰勒公式.返回后页前页因0xx介于与之间,故存在正数(01),所以使得,)(00xxx)(xRn又可写成.)()!1())(()(1000)1(nnnxxnxxxfxR当00x时,公式(5)成为2(0)(0)()(0)1!2!fffxfxx()(1)1(0)().(6)!(1)!nnnnffxxxnn返回后页前页公式(6)称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公例1中六个公式的余项均为佩亚诺型的,现在将不一样.读者在应用时,需根据不同情况选择合适分均为泰勒多项式,而不同的是Rn(x)的表达形式式.公式(3)与公式(5)都是泰勒公式,并且前面部它们改写为带有拉格朗日型余项的公式:形式的余项.返回后页前页21ee1,2!!(1)(!i)nxxnxxxxnn(01,(,)).x3211sin(1)3!(1!i)2(i)mmxxxxm21cos(1),(01,(,)).(21)!mmxxxm242cos1(1)2!4!(2)!(iii)mmxxxxm,)!22(cos)1(221mmxmx(01,(,)).x返回后页前页231ln(1)(1)3(iv)2nnxxxxxn11(1),(1)(1)nnnxnx(01,1).x2(1)(1)(12!v)xxxnxnn!)1()1((01,1).x11(1)()(1),(1)!nnnxxn返回后页前页12211,1(1)(vi)nnnxxxxxx(01,1).x这里仅对公式(iii)进行验证,其余5个请读者自理.于是(0)1,(0)0,(0)1,(0)0,ffff()cos,fxx设则0,1,2,.k()π()cos(),2kfxxk返回后页前页,0)0(,)1()0()12()2(mmmff(22)1()cos((1))(1)cos.mmfxxmx从而有)!2()1(!4!21cos242mxxxxmm.cos)!12()1(221mmxxm返回后页前页例5(1)计算e的值,使其误差不超过.106(2)证明e是无理数.解由例5可知11ee11,01.2!!(1)!nn所以误差因为,3e2,106933(1)10.10!3628800R三、泰勒公式在近似计算中的应用返回后页前页于是11e22.718281,2!9!11e!e!(11).(7)2!!1nnnne(,)1.ppqnqq倘若是有理数取是的倍数，下证e是无理数.这是因为其误差不超过.610返回后页前页矛盾.所以e是一个无理数.(同样可证明都不是有理数.)sin1,cos1,例6计算ln2的值,使其误差不超过10-4.解