《-数学分析-》第三章-函数极限-2

§2极限的性质一、极限运算法则定理.0,)()(lim)3(;)]()(lim[)2(;)]()(lim[)1(,)(lim,)(limBBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中则设证.)(lim,)(limBxgAxf.0,0.)(,)(其中BxgAxf由无穷小运算法则,得)()]()([BAxgxf.0.)1(成立)()]()([BAxgxfABBA))(()(BA.0.)2(成立BAxgxf)()(BABA)(BBAB.0AB,0,0B又,0,00时当xx,2BBBBB21B21推论1).(lim)](lim[,,)(limxfcxcfcxf则为常数而存在如果常数因子可以提到极限记号外面..)]([lim)](lim[,,)(limnnxfxfnxf则是正整数而存在如果推论2,21)(2BBB,2)(12BBB故有界，.)3(成立二、求极限方法举例例1.531lim232xxxx求解)53(lim22xxx5lim3limlim2222xxxxx5limlim3)lim(2222xxxxx52322,03531lim232xxxx)53(lim1limlim22232xxxxxx.373123小结:则有设,)(.1110nnnaxaxaxfnnxxnxxxxaxaxaxf110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa10100).(0xf则有且设,0)(,)()()(.20xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000xQxPxfxxxxxx)()(00xQxP).(0xf.,0)(0则商的法则不能应用若xQ解)32(lim21xxx,0商的法则不能用)14(lim1xx又,031432lim21xxxx.030由无穷小与无穷大的关系,得例2.3214lim21xxxx求.3214lim21xxxx解例3.321lim221xxxx求.,,1分母的极限都是零分子时x.1后再求极限因子先约去不为零的无穷小x)1)(3()1)(1(lim321lim1221xxxxxxxxx31lim1xxx.21)00(型(消去零因子法)例4.147532lim2323xxxxx求解.,,分母的极限都是无穷大分子时x)(型.,,3再求极限分出无穷小去除分子分母先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx.72(无穷小因子分出法)小结:为非负整数时有和当nmba,0,000,,,,0,,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例5).21(lim222nnnnn求解．是无限多个无穷小之和时,n222221lim)21(limnnnnnnnn2)1(21limnnnn)11(21limnn.21先变形再求极限.例6.sinlimxxx求解,1,为无穷小时当xx.sin是有界函数而x.0sinlimxxxxxysin例7).(lim,0,10,1)(02xfxxxxxfx求设yox1xy112xy解两个单侧极限为是函数的分段点,0x)1(lim)(lim00xxfxx,1)1(lim)(lim200xxfxx,1左右极限存在且相等,.1)(lim0xfx故.)(lim)]([lim)]([)(lim)()(lim)(00000AufxfxxxfAufaxxaxaxxxuauxxauxx时的极限也存在，且当则复合函数，，又的某去心邻域内但在点，，即时的极限存在且等于当运算法则）设函数定理（复合函数的极限)]([lim0xfxx)(limufau)(xu令)(lim0xaxx意义：例8.lim333axaxax求解axaxaxax3233)()(lim原式3233232)(limaaxxaxax．0323203limauuaxu令三、小结1、极限的四则运算法则及其推论;2、极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.3、复合函数的极限运算法则思考题在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？)(xf)(xg)()(xgxf思考题解答没有极限．假设有极限，)()(xgxf)(xf有极限，由极限运算法则可知：)()()()(xfxgxfxg必有极限，与已知矛盾，故假设错误．.__________1sinlim520xxx、.__________33lim132xxx、一、填空题:.__________11lim231xxx、.__________)112)(11(lim32xxxx、.__________5)3)(2)(1(lim43nnnnn、.__________coslim6xxxeex、练习题.__________2324lim72240xxxxxx、.__________)12()23()32(lim8503020xxxx、二、求下列各极限:)21...41211(lim1nn、hxhxh220)(lim2、)1311(lim331xxx、38231lim4xxx、)(lim5xxxxx、1412lim6xxx、2lim71nmnmxxxxx、一、1、-5；2、3；3、2；4、51；5、0；6、0；7、21；8、30)23(.二、1、2；2、x2；3、-1；4、-2；5、21；6、0；7、nmnm.练习题答案