《-数学分析-》第三章-函数极限

第三章§1函数极限的概念.sin时的变化趋势当观察函数xxx播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限问题:函数)(xfy在x的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.;)()(任意小表示AxfAxf.的过程表示xXx.0sin)(,无限接近于无限增大时当xxxfx通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.定义1如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数X,使得对于适合不等式Xx的一切x,所对应的函数值)(xf都满足不等式Axf)(,那末常数A就叫函数)(xf当x时的极限,记作)()()(limxAxfAxfx当或定义X.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当Axfx)(lim1、定义：:.10情形x.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当:.20情形xAxfx)(lim.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当Axfx)(lim2、另两种情形:Axfx)(lim:定理.)(lim)(limAxfAxfxx且xxysin3、几何解释:XX.2,)(,的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时或当AyxfyXxXxAxxysin例1.0sinlimxxx证明证xxxxsin0sinx1X1,,0,1X取时恒有则当Xx,0sinxx.0sinlimxxx故.)(,)(lim:的图形的水平渐近线是函数则直线如果定义xfycycxfx二、自变量趋向有限值时函数的极限问题:函数)(xfy在0xx的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.;)()(任意小表示AxfAxf.000的过程表示xxxxx0x0x0x,0邻域的去心点x.0程度接近体现xx定义2如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得对于适合不等式00xx的一切x,对应的函数值)(xf都满足不等式Axf)(,那末常数A就叫函数)(xf当0xx时的极限,记作)()()(lim00xxAxfAxfxx当或定义.)(,0,0,00Axfxx恒有时使当1、定义：2、几何解释:)(xfyAAA0x0x0xxyo.2,)(,0的带形区域内宽为为中心线线图形完全落在以直函数域时邻的去心在当Ayxfyxx注意：;)(.10是否有定义无关在点函数极限与xxf..2有关与任意给定的正数.,,越小越好后找到一个显然例2).(,lim0为常数证明CCCxx证Axf)(CC,成立,0任给0.lim0CCxx,0任取,00时当xx例3.lim00xxxx证明证,)(0xxAxf,0任给,取,00时当xx0)(xxAxf,成立.lim00xxxx例4.211lim21xxx证明证211)(2xxAxf,0任给,只要取,00时当xx函数在点x=1处没有定义.1x,)(Axf要使,2112xx就有.211lim21xxx例5.lim00xxxx证0)(xxAxf,0任给},,min{00xx取,00时当xx00xxxx,)(Axf要使,0xx就有,00xxx.00且不取负值只要xxx.lim,0:000xxxxx时当证明3.单侧极限:例如,.1)(lim0,10,1)(02xfxxxxxfx证明设两种情况分别讨论和分00xx,0xx从左侧无限趋近;00xx记作,0xx从右侧无限趋近;00xx记作yox1xy112xy左极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当右极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当}0{}0{}0{:000xxxxxxxxx注意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx定理.lim0不存在验证xxxyx11oxxxxxx00limlim左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在xfx例6证1)1(lim0xxxxxxx00limlim11lim0x三、函数极限的性质1.有界性定理若在某个过程下,)(xf有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后)(xf有界.2.唯一性定理若)(limxf存在,则极限唯一.推论).()(),,(,0,)(lim,)(lim0000xgxfxUxBABxgAxfxxxx有则且设3.不等式性质定理(保序性).),()(),,(,0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx则有若设).0)((0)(,),(,0),0(0,)(lim000xfxfxUxAAAxfxx或时当则或且若定理(保号性)).0(0),0)((0)(,),(,0,)(lim000AAxfxfxUxAxfxx或则或时当且若推论4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系).)(),(,),(),(,)(.),(),,(21000时的子列当为函数即则称数列时使得有数列中或可以是设在过程axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn定义.)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax则有时的一个子列当是数列若定理证.)(,0,0,00Axfxx恒有时使当Axfxx)(lim0.0,,0,00xxNnNn恒有时使当对上述,)(Axfn从而有.)(limAxfnn故,lim00xxxxnnn且又例如,xxysin1sinlim0xxx,11sinlimnnn,11sinlimnnn11sin1lim22nnnnn函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.xy1sin例7.1sinlim0不存在证明xx证,1nxn取,0limnnx;0nx且,2141nxn取,0limnnx;0nx且nxnnnsinlim1sinlim而,1214sinlim1sinlimnxnnn而1limn二者不相等,.1sinlim0不存在故xx,0四、小结函数极限的统一定义;)(limAnfn;)(limAxfx;)(limAxfx;)(limAxfx;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx.)(lim0Axfxx.)(,,,0)(limAxfAxf恒有从此时刻以后时刻(见下表)过程时刻从此时刻以后nxxxNNnNxNxNx)(xfAxf)(0xx00xx0xx0xx00xx00xx过程时刻从此时刻以后)(xfAxf)(思考题试问函数0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在0x处的左、右极限是否存在？当0x时，)(xf的极限是否存在？思考题解答)(lim0xfx,5)5(lim20xx左极限存在,)(lim0xfx,01sinlim0xxx右极限存在,)(lim0xfx)(lim0xfx)(lim0xfx不存在..01.01______131222yzxzxxyx，必有时，只要取，问当时，、当.001.0420___4212yxxyx，必有只要时，取，问当时，、当证明：二、用函数极限的定义一、填空题:0sinlim221241lim1221xxxxxx、、练习题.)(:0极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右时极限存在的充分当函数三、试证xxxf?0)(存在时的极限是否在四、讨论：函数xxxx一、1、0.0002；2、397.四、不存在.练习题答案