数学分析-第三章-函数极限1-3

2020/4/31第三章函数极限由上章讨论知，数列实质就是一种特殊的函数——整标函数)(limlimnfxnnn)(lim,xfZxx.),(Nxnfxn。可得到函数极限的概念就从特殊推广到一般或只需将这里的,Nxn§1函数极限的概念2020/4/32xyoxy1yxoxyarctan2y2y?,yx引例2020/4/33当x无限增大时，函数f(x)=arctanx无限接近于.2/;)()(,0任意小表示AxfAxf).xxXx充分大（表示问题:如何用数学语言刻划“无限增大”、“无限接近”?时函数的极限一、x直观上，当x无限增时),(x.01无限接近函数xy2020/4/34axfnfxZxxnnn)(lim)(limlim,由对任给定的0，都存在自然数N=N()，使得当nN时，恒有|xn-a|=|f(x)-a|成立。定义设f(x)在[a,+∞]有定义，=A对任给定的0，都存在X=X()a，使得当xX时，恒有|f(x)-A|成立。)(limxfx2020/4/35定义X.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当Axfx)(lim2020/4/36几何解释yA+y=f(x)AA-OXx即＝Ax+时，曲线y=f(x)有水平渐近线y=A.)(limxfx(2020/4/37定义f(x)在（-∞，a]有定义，＝A对任给定的0，都存在X=X()0，使得当x-X时，恒有|f(x)-A|成立。)(limxfx定义XAxfx)(lim.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当2020/4/38几何解释yA-XO即＝Ax-时，曲线y=f(x)有水平渐近线y=A。)(limxfx2020/4/39定义设f(x)在U(∞)有定义，＝A对任给定的0，都存在X=X()0，使得当|x|X时，恒有|f(x)-A|成立。)(limxfx定义XAxfx)(lim.)(,||,0,0AxfXxX恒有时使当的)(limxfx简写为：2020/4/310几何解释yA-XOXx即＝Ax时，曲线y=f(x)有水平渐近线y=A.)(limxfx2020/4/311定义X.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当Axfx)(limAxfx)(lim.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当Axfx)(lim.)(,||,0,0AxfXxX恒有时使当.)(limAxfx)(limxfx)(limAxfx不难证明：2020/4/312xxysin例1.0sinlimxxx证明证xxxxsin0sinx1,0,εX1取时恒有则当Xx,0sinxx.0sinlimxxx故1x2020/4/313例2.0limxxe证明证xxee|0|,,|0|,0xxee只要欲使,lnx即要|,ln|X故取).1(,ln不妨设则当Xx,xe有.0limxxe即xeyxey2020/4/314的极限xxx,,.1112的极限时，讨论引例xxyx2020/4/315时函数的极限二、0xx函数)(xfy在0xx的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.;)()(任意小表示AxfAxf.000的过程表示xxxxx0x0x0x,0邻域的去心点x.0程度接近体现xx2020/4/316定义设f(x)在x0的某个去心邻域有定义义，＝A对任给定的0，都存在=()0，使得当0|x-x0|时，恒有|f(x)-A|成立。)(lim0xfxx定义.)(,0,0,00Axfxx恒有时使当Axfxx)(lim02020/4/317几何解释:)(xfyAAA0x0x0xxyo2020/4/318Axfxfxx)(lim)0(00.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当定义定义设f(x)在x0的某个右去心邻域有定义，对任给定的0，都存在=()0,使得当0x-x0(即x0xx0+)时，恒有|f(x)-A|成立。Axfxx)(lim00)0()(lim)(0000xfxfxxfxx或处的右极限，记为在2020/4/319.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当定义定义设f(x)在x0的某个左去心邻域有定义，对任给定的0，都存在=()0,使得当-x-x00(即x0-xx0)时，恒有|f(x)-A|成立。)(lim)0()(lim00000xfxfAxfxxxxAxfxfxx)(lim)0(002020/4/320定义.)(,0,0,00Axfxx恒有时使当Axfxx)(lim0Axfxx)(lim0.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当不难证明（课后作业）：Axfxx)(lim0.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当Axfxx)(lim0)(lim0xfxx)(lim0Axfxx2020/4/321注意：;)(.10是否有定义无关在点函数极限与xxf亦越小。越小，一般有关与,.2),(||0.4000xUxxx).,()(|)(|AUxfAxf).,()(),,(,0,0)(lim000AUxfxUxAxfxx有故不唯一，.32020/4/322总结：0.1Axfxx)(lim0验证.2Axf)(满足：Axf)()(0gxx)(g的定义Axfxx)(lim0时，当00.3xx2020/4/323例3.lim00xxxx证明证0)(xxAxf,0任给,取,00时当xx0)(xxAxf,成立.lim00xxxx2020/4/324例4证明2证：11lim21xxx).1(|1-||2-1||2-11|2时当xxxxx.)(,0可取对任给定的,|1-||2-11||2-)(|,|1-|02成立恒有时当xxxxfx证毕.211lim21xxx2020/4/325例5证明：证：对任给定的0，.4142-lim22xxx.证毕,|2|4|2-||4142-|2xxxx则不妨设1,|2-|x故3,|2|x,12|2-||4142-|2xxx,12|2-||4142-|2xxx，只要欲使,12|2|x即,}12,1min{故取.|4142-|,|2|02xxx有当131x2020/4/326例6证明.coscoslim00xxxx2020/4/327AC)20(,,xxAOBO圆心角设单位圆于是由xoBD,tan21xSAOC证：xSAOBsin21xSAOB21扇，得xxxtansin时，当0x|||sin|xx准备知识1证明：xx-)(sin有xxsin即,sin2xxx也有显然.|||sin|,xxRx有故,sin0xxx有故,AOC的切线得三角形作单位圆过AA2020/4/328.sincoscossin)sin(.1准备知识2两角和公式2.cos()coscossinsin.31tantan.tan()tantancossin22sin.41cos2sin21sincos2cos.5222222cos1sin.6222cos1cos.722020/4/329).sin()sin(cossin2.1准备知识2积化和差、和差化积).cos()cos(coscos2.2).cos()cos(sinsin2.3.2cos2sin2sinsin.4.2cos2cos2coscos.5.2sin2sin2coscos.62020/4/330例6证明.coscoslim00xxxx证00222|sinsin|xxxx|2sin|20xx|2|20xx||0xx.|coscos|||0,,000xxxx，有当取故.coscoslim00xxxx即|||sin|xx222coscossinsin.0|coscos|xx2020/4/331.lim0不存在验证xxxyx11oxxxxxx00limlim左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在xfx例7证1)1(lim0xxxxxxx00limlim11lim0xAxfAxfAxfxxxxxx)(lim,)(lim)(lim0002020/4/332是否存在。判断设)(lim3.1-23;1{)(3xfxxxxxfx4)1(lim)(lim0)-(30303xxffxx5)1(2lim)(lim0)(30303xxffxx0)(30)-(3ff有不存在。)(lim3xfx例8解：2020/4/333,][limnxnx1][limnxnx例9证明：当n是任意整数时，12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyoy=[x]证仅证第一式。不妨设nxn+1则[x]=n,0|||][|nnnx,10nx即只要取欲使,|][|,0nx,|][|,0,1nxnx有则.][limnxnx即2020/4/334§2函数极限的性质六种函数极限，以为代表，说明其性质，其余类似。)(lim0xfxx2020/4/335一、唯一性定理2若存在，则此极限唯一.)(lim0xfxx证,)(lim,)(lim00BxfAxfxxxx设.)(,0,0,0101Axfxx恒有时使当.)(,0,0,0202Bxfxx恒有时使当，，且恒有时则当取BxfAxfxx)()(,0},,min{0212020/4/336|)()(|||BxfxfABA|))(())((|BxfAxf|))((||))((|BxfAxf.2.BA的任意性，得由2020/4/337二、局部有界性定理3若存在，则f在x0的某空心邻域内有界.)(lim0xfxx证,)(lim0Axfxx设.1)(,0,0,10Axfxx恒有时使当对AAxfxf)(||)(,从而|||)(|AAxf||1A内有界。在即),()(00xUxf2020/4/338三、局部保号性.0)(),(),(),,0(,0)(lim)1(00000rxfxUxxUArA