1.1.1-正弦定理

高中·数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理高中·数学课标要求:1.了解正弦定理的推导过程.2.能利用正弦定理解决两类解三角形的基本问题.3.能利用正弦定理及其变形判断三角形的形状.高中·数学自主学习课堂探究高中·数学自主学习新知建构·自我整合点击进入情境导学知识探究在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比,即sinaA=sinbB=sincC,这个比值是三角形外接圆的直径2R.1.正弦定理相等高中·数学探究:在△ABC中,若sinAsinB,是不是一定有AB?反之,若AB,是不是一定有sinAsinB?提示:根据正弦定理可得sinA=,sinB=,所以若sinAsinB,一定有ab,于是AB.反之,由AB可得ab,再由a=2RsinA,b=2RsinB知,一定有sinAsinB.(其中R为△ABC外接圆的半径)2aR2bR2.解三角形一般地,把三角形的三个内角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.3.正弦定理的应用正弦定理主要用于解决下列两类问题:(1)已知△ABC两角和任意一边,求其他两边和一角.(2)已知△ABC两边和其中一边的对角,求另外一边的对角和其他的边角.元素高中·数学自我检测1.(正弦定理的变形)在△ABC中,一定成立的等式是()(A)asinA=bsinB(B)acosA=bcosB(C)asinB=bsinA(D)acosB=bcosA2.(利用正弦定理判断三角形的形状)在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶4∶5,则△ABC是()(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)锐角三角形(D)钝角三角形CA高中·数学3.(利用正弦定理解三角形)在△ABC中,A=60°,a=43,b=42,则()C(A)B=45°或135°(B)B=135°(C)B=45°(D)60°或120°解析:由正弦定理得sinaA=sinbB,所以sinB=sinbAa=o42sin6043=22,所以B=45°或135°.又ba,所以B=45°,故选C.高中·数学4.(正弦定理的几何意义)在△ABC中,已知a=2,∠A=120°,则其外接圆的半径R=.解析:因为2R=sinaA=o2sin120=433,所以R=233.答案:233高中·数学题型一已知两角及一边解三角形课堂探究典例剖析·举一反三【例1】在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,c.解:A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.由sinaA=sincC得,c=sinsinaCA=oo8sin75sin45=268422=4(3+1).所以A=45°,c=4(3+1).高中·数学方法技巧已知三角形的两角和任一边解三角形,基本思路是:(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对边,由三角形内角和定理求出第三个角.(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.高中·数学即时训练1-1:在△ABC中,已知A=45°,B=30°,a=2,求出其他边和角的大小.解:根据三角形内角和定理,得C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105°,根据正弦定理得:b=sinsinaBA=oo2sin30sin45=12222=2,c=sinsinaCA=oo2sin105sin45=oo2sin75sin45=622422=3+1.高中·数学【备用例1】已知△ABC中,a=20,A=30°,C=45°,求B,b,c.解:因为A=30°,C=45°,所以B=180°-(A+C)=105°,由正弦定理得b=sinsinaBA=oo20sin105sin30=40sin(45°+60°)=10(6+2);c=sinsinaCA=oo20sin45sin30=202,所以B=105°,b=10(6+2),c=202.高中·数学题型二已知两边及其中一边的对角解三角形【例2】在△ABC中,若c=6,A=45°,a=2,求B,C,b.规范解答:因为sinaA=sincC,所以sinC=sincAa=o6sin452=32,…………4分所以C=60°或120°.…………………………5分当C=60°时,B=75°,b=sinsincBC=oo6sin75sin60=3+1.……………………8分当C=120°时,B=15°,b=sinsincBC=oo6sin15sin120=3-1.……………………11分所以b=3+1,B=75°,C=60°或b=3-1,B=15°,C=120°.………………………………12分高中·数学误区警示已知三角形中的两边和其中一边的对角,解三角形时:(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角.(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.高中·数学即时训练2-1:(2015·北京卷)在△ABC中,a=3,b=6,∠A=2π3,则∠B=.解析:由正弦定理得sinaA=sinbB,得32πsin3=6sinB⇒sinB=22,因为ab,所以∠B=π4.答案:π4高中·数学题型三利用正弦定理判断三角形的形状【例3】在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.解:法一在△ABC中,根据正弦定理:sinaA=sinbB=sincC=2R(R为△ABC外接圆半径).因为sin2A=sin2B+sin2C,所以(2aR)2=(2bR)+(2cR)2,即a2=b2+c2.所以A=90°,所以B+C=90°.由sinA=2sinBcosC,得sin90°=2sinBcos(90°-B),所以sin2B=12.高中·数学因为B是锐角,所以sinB=22.所以B=45°,C=45°.所以△ABC是等腰直角三角形.法二在△ABC中,根据正弦定理得sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR(R为△ABC外接圆半径).因为sin2A=sin2B+sin2C,所以a2=b2+c2,所以△ABC是直角三角形且A=90°.因为A=180°-(B+C),sinA=2sinBcosC,所以sin(B+C)=2sinBcosC.所以sinBcosC-cosBsinC=0,即sin(B-C)=0,所以B-C=0,即B=C.所以△ABC是等腰直角三角形.高中·数学方法技巧根据边角关系判断三角形形状的途径:①利用正弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解,配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;②利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个蕴含的结论.在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.高中·数学即时训练3-1:在△ABC中,已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断△ABC的形状.解:由已知有a2sin(A-B)+b2sin(A-B)=a2sin(A+B)-b2sin(A+B),即2a2cosAsinB-2b2cosBsinA=0,所以a2cosAsinB-b2sinAcosB=0.由正弦定理,上式可化为sin2AcosAsinB-sin2BsinAcosB=0,即sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0,因为sinA≠0,sinB≠0,所以sinAcosA-sinBcosB=0,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=π,所以A=B或A+B=.π2高中·数学解析:由题得sin2A·sincosBB=sin2B·sincosAA,即sinAcosA=sinBcosB,且cosAcosB≠0,所以sin2A=sin2B,因为02A2π,02B2π,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=π2,则△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.【备用例2】在△ABC中,若a2tanB=b2tanA,则△ABC的形状为()(A)等腰三角形(B)等腰直角三角形(C)直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形高中·数学点击进入课时作业