LBM相变传热与流体流动数值分析13

相变传热与流体流动数值分析(第11-14讲)格子Boltzmann方法LatticeBoltzmannMethod主要内容13.1LBGK模型13.2MRT模型13.3多相和多组分模型13.4LBM热模型概述本章重点；LBM基本模型连续Boltzmann方程LBGK方程BGK近似泰勒级数展开Chapman-Enskog回归上章回忆；理论推导单相模型(D2Q9模型)多相和多组分模型（SC模型）根据不同的划分规则，LBM的模型包括：单松弛(LBGK)模型等温模型非等温模型多松弛(MRT)模型不同的松弛时间温度是否变化?单组分单相模型多组分多相模型多相，多组分?格子Boltzmann-BGK（LBGK）模型的演化方程：tftftftttfeqiiii,,1,,xxxexi13.1LBGK模型代表性的模型：Qian等人1992年提出的DnQb模型和Guo等人2006年提出的DnGb模型。（n为空间维数，b是离散速度数）LBGK模型单松弛模型DnQb模型DnGb模型伪不可压模型不可压模型012345678e1e2e3e4e5e6e7e8f1f2f3f4f5f6f7f8f0Histogramviewofthedistributionfunction,f.f1f5125aff2f3f434678f6f7f813.1LBGK模型DnQb模型13.1LBGK模型tftftftfeqiiii,,1,,~xxxxtftttfiii,~,xex碰撞过程：迁移过程：DnQb模型221)(22422ssisiieqicccwfuueuexx平衡态分布函数:为格子声速。为权系数，其中，RTcwsi这两个参数是决定LBGK模型的关键参数，其取值依赖于选用的格子类型。DnQb模型13.1LBGK模型D1Q3:,610,32,3],1,1,0[222ceewccciiiseD1Q5:4,121,610,21,],2,1,0[22222ceceewccciiiiseDnQb模型13.1LBGK模型txc格子速度D2Q7:,1210,32,26,2,1,3)1(),sin,(cos0i)0,0(222ceewcciiciiisiiiieD2Q9:2,361,910,94,38~5,4/2/5,sin,cos24~1,2/1,sin,cos0,0,022222ceceewcciiciiciiiiisiiiiiiieDnQb模型13.1LBGK模型D3Q15:1-11-111-1-11-1000001-111-1-11-1001-100011-1-11-11-100001-10ceDnQb模型13.1LBGK模型3,721,910,92,322222ceceewcciiiis1-1-111-1-1100001-10000011-1-100001-1-11001-1000000011-1-111-1-100001-10ceD3Q19:DnQb模型13.1LBGK模型2,361,1810,31,322222ceceewcciiiisD3Q19:D2Q9:DnQb模型13.1LBGK模型0Tpttuuuuuu通过和Chapman-Enskog展开方法类似的多尺度分析方法，对演化方程进行处理，可以得到LBGK模型对应的宏观方程如果流体的密度变化不大，即≈0，上式就是标准的不可压N-S方程。Note：在推导过程中，假设Mach数充分小，因次LBGK模型的上述结果仅限于低Mach数流动（Ma≤0.3）。DnQb模型13.1LBGK模型2siiiicpff压力：速度：密度：ieu对于宏观物理量，可由以下方程得到实际上,LBGK方法势求解不可压N-S方程的一种人工压缩方法。DnQb模型13.1LBGK模型tcvs5.02运动粘度：压力入口压力出口D2Q9模型----Poiseuilleflow13.1LBGK模型多松弛模型和单松弛模型的主要区别在于它的碰撞过程包含多个松弛时间（Multiple-Relaxation-Time）。tftftftttfeqjjijii,,,,xxxexiMRT模型含有更多的可调参数，剪切黏性和体黏性都是可调的；MRT可以克服普通LBGK模型的明显不足，如不受因单松弛参数影响而保证Prandtl数固定不变的限制；MRT模型有更好的稳定性，并且在粘性较高时可减小人工压缩性的影响。优点：缺点：公式复杂，计算量较大。碰撞矩阵13.2MRT模型（13.2.1）上式描述了离散速度分布函数在速度空间的时空演化过程。通过b个b维基向量，可以建立速度空间和矩空间之间的关系，即其中，是粒子速度的多项式函数，且线性无关。bk，，，21),,2,1(biciT21,,,,,,,,tftftftfbxxxxbR定义b个矩，,b,,kmkk21,fkbRbimΜi,,2,1:,1mMffmM其中，,,,2,1:确定的变换矩阵是由bkkΜ即，T21,,,bΜ13.2MRT模型关键问题：确定碰撞矩阵eqffffeqmmSmmeqeqMfm演化过程，仍然分为碰撞和迁移两步：碰撞：迁移：,,,,tftftftfeqjjijiixxxxtftttfii,,xexi因为碰撞步只涉及局部计算，写成矢量形式上式两端乘以变换矩阵M，得其中，为矩空间的平衡态函数),,,(211bsssdiagMΛΛS13.2MRT模型Txyxxyyxx,p,p,q,j,qρ,e,ε,jm111100000000011110111120200111110100111102020111101010111122224222211114111111111MT2222eq,321yxyxyyxxu,uu,uu,,uu,uu,u,ρm以标准D2Q9模型为例：变换矩阵：对应的矩为矩空间的平衡态其中和为自由参数，当＝1，且＝－3，时，该平衡态函数和LBGK模型的平衡态分布函数一致。13.2MRT模型模型的松弛参数为：vvqqessssss,,,0,,0,,,0S剪切黏性和体黏性系数分别为：tsctscvesvs211,21122其中：312sc13.2MRT模型Multi-ComponentMultiphaseMiscibleFluids/Diffusion(NoInteraction)ImmiscibleFluidsSingleComponentMultiphaseSinglePhase(NoInteraction)NumberofComponentsInteractionStrengthNatureofInteractionAttractiveRepulsive13.3多相和多组分模型颜色模型（Chromodynamicsmodel）自由能模型（Freeenergymodel）伪势模型（SCmodel，pseudo-potentialmodel)基于动理学理论的LBM模型13.3多相和多组分模型•Gunstensen等人于1991年提出的第一个多组分多相模型。•基于Rothman和keller提出的LGA两相流模型。•Grunau等又将此模型推广到密度和粘性变化的两相流系统中。•用不同颜色区分不同相态的流体；•不同流体之间的相互作用通过引入颜色梯度来实现，并根据它来调整流体粒子的运动趋势，实现流体的分离或混和。特点：13.3.1颜色模型以两相流为例：引入两个分布函数，分别表示红色相和蓝色相流体。混和流体的分布函数的演化方程为biriff和biriifff）（1.3.13,,piciiitftttfxexi其中，表示由流体粒子之间碰撞引起变化，可以用BGK模拟，而表示界面张力引起的扰动。cipi每相和混和流体的宏观流动变量为bbrrbrikikikikr,bkffuuueuik,,,13.3.1颜色模型cil是碰撞算子的与黏性系数相关的特征值。所以定义为pi)2cos(ipiAG其中：，A是控制表面张力s的参数，而之间的夹角与为GeiilsA~显然，在单相区内颜色梯度为0，因此，也就是说，表面张力引起的分布函数变化只在界面处起作用，这是符合物理事实的。0pi引入描述两相差别的局部序参数（orderparameter）),(),(),(tttbrxxx并定义局部的颜色梯度),(),(ttixexGi13.3.1颜色模型确定了后，混和分布函数在每一个时间步内根据方程（13.3.1）进行演化，红蓝两相的分布函数则通过重新标色（Recoloring）过程来获得。这一过程是求解下面的极大化问题pici和ibiriffbiriffffWbiriie,max,并满足如下的限制条件iibirirrirffff,其中，是重新标色后的分布函数，而是碰撞前的量。这一极大化的实质是使颜色通量颜色梯度G的方向尽可能一致，并包装每个格点处各相质量及每一方向的质量守恒。ibiriff和rf和rbuuHrbr13.3.1颜色模型综上，Gunstensen等人的颜色模型可分为三步进行演化：1.单相碰撞：a)计算混和分布函数；b)计算和平衡态分布函数；c)按照单相碰撞规则计算碰撞后分布函数。2.两相碰撞：a)将表面张力扰动加入碰撞后分布函，；b)对重新标色，得到。3.迁移：biriifffu,eqifciiiffpiiiffifbiriff和tftttftftttfbibiriri,,,,xexxexiiNOTE上述模型演化过程中的碰撞对象是混和分布函数！13.3.1颜色模型其中分别为每一相的碰撞算子，采用BGK模型颜色模型的改进：Grunau等提出了改进的颜色模型，允许不同颜色的分布函数参与碰撞过程，其演化方程为：biri和）（）（btftttfatftttfpbibibibipriririri2.3.3,,2.3.3,,xexxexiir,bkffeqkikikki,1其中平衡态分布依赖每相的密度。u和混和速度k13.3.1颜色模型仍然是表面张力引起的扰动，形式为pki02p2GGeGikAki＝其中是与表面张力相关的参数，是与模型相关的常数。kA0重新标色过程如下：首先通过极大化，使红色流体的动量与颜色梯度方向尽可能一致；之后，令蓝色流体的分布函数为,其中是重新标色前的混和分布函数。Gurrrurriibifffif13.3.1颜色模型局限性：表面张力与界面走向相关（各向异性）；在相界面处附近会产生非物理现象；“颜色能量”的极小化过程的计算量较大；不容易考虑热动力学影响；13.3.1颜色模型1993年和1