LBM相变传热与流体流动数值分析-12

相变传热与流体流动数值分析(第11-14讲)格子Boltzmann方法LatticeBoltzmannMethod主要内容12.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程12.2从LBGK方程到N-S方程元胞自动机格子气自动机格子Boltzmann模型LBGK模型本章重点；LBGK模型连续Boltzmann方程LBGK方程BGK近似泰勒级数展开Chapman-Enskog回归上章回忆；LBM的起源与发展Boltzmann方程12.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程Boltzmann方程Boltzmann—BGK方程LBGK方程在统计力学中，用来描述微观层次下粒子分布函数f时空变化的守恒方程，由LugwigBoltzmann于1872年提出。TheBoltzmannequationisusedtostudyhowagasorfluidtransportsphysicalquantitiessuchasheatandmomentum,andthustoderivetransportpropertiessuchasviscosity,andthermalconductivity.1844–1906ffftfξaxξ＋Boltzmann方程是一个积分-微分方程，用来描述单个粒子分布函数在物理-动量空间（相空间）的演变：Boltzmann方程碰撞项12.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程f粒子分布函数(particledistributionfunction)ξ粒子的速度矢量a由外力F引起的加速度三个基本假设：Boltzmann方程12.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程•只考虑二体碰撞，忽略三个或更多粒子的同时碰撞的情况；•分子混沌假设，即发生碰撞的两个粒子在碰撞前速度不相关；•外力不影响局部碰撞时的动力学行为。碰撞积分xωωuuddfffff,212121粒子的相对速度固体角计算碰撞固体角和粒子相对速度的碰撞截面•直接得到Boltzmann方程的分析解和数学解几乎是不可能的。•Bhatnagar，Gross和Krook（1954）提出碰撞项的简化模型，称为BGK假设：•假设分子之间的碰撞会促使分布函数f向其平衡态接近，碰撞引起的变化量与f偏离平衡态的程度成正比。•简化后的Boltzmann－BGK方程为：Boltzmann—BGK方程12.1.从连续Boltzmann方程到LBGK方程密度分布函数，表示在t时刻x位置微观速度是e的粒子的密度分布),e,(txfeqfffftfξaxξ＋Boltzmann—BGK方程是平衡分布函数（Maxwell-Boltzmann分布函数）eqfRTuRTfeq2exp222/D0uTRD,,,,空间尺寸、气体常数、宏观温度、密度、流体速度12.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程Maxwell-BoltzmannDistribution00.00050.0010.00150.0020.00250.0030.00350.0040500100015002000Speed(m/s)FractionofMolecules98K198K298K398K498K598KBoltzmann—BGK方程12.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程Boltzmann—BGK方程宏观变量是分布函数的速度矩dfufdudffddffdeqeqeq22)(21)(21u密度动量内能12.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程Boltzmann—BGK方程12.1.从连续Boltzmann方程到LBGK方程密度分布函数，表示在t时刻x位置微观速度是e的粒子的密度分布),e,(txfeqfffftfξaxξ＋格子Boltzmann方程三要素：•时间和相空间离散的演化方程•满足质量守恒和动量守恒条件•恰当的平衡态分布函数导出正确的宏观N-S方程LBGK方程(1)时间上离散（忽略外力的作用）12.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程eqffDtDf1＋其中为速度的时间导数ξtDtDξ将上式在时间步长内积分，可得t''01dtttfeeetfttfeqtttt其中，tt'0LBGK方程(1)时间上离散（忽略外力的作用）12.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程若足够小且在局部足够光滑，则可用以下线性函数近似：eqft)(12'''tOttftttfttttfeqeqeq将在附近作Taylor展开，忽略及高阶项得：2tO/tettteteett11120/)0(/LBGK方程12.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程tftfttfttfeq/t/1tftftfttfeq1(1)时间上离散（忽略外力的作用）LBGK方程12.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程(2)平衡态分布函数的近似RTRTfDeq2exp222uξu（Maxwell-Boltzmann分布）RTRTRTRTRTRTRTRTRTRTffffDDeqeqeqeq2212exp22212exp202002222232222232uuξuξξuuuξuξξuuuuTaylor展开LBGK方程12.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程(3)相空间离散通过采用恰当的动量空间离散方法，宏观变量的积分计算形式可以转化为简单的代数形式：ieqiiiffeqiiiiiiffuieqiiiiifufu222121密度速度内能LBGK方程若上述的近似计算成立，需要满足两个守恒原则：),,(),(),,(),(tefWtfftefWtffieqieqieqiiiiixxxx其中，iW为权重系数；ie为离散速度；12.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程(3)相空间离散LBGK方程以上近似过程可以统一写成如下形式：),,()(),,()(tfWtfeqiiieqxx矩方程的函数上面的积分含有由高斯积分公式计算的一般形式：iiiiRTWdRTI2exp)(2exp2212.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程(3)相空间离散LBGK方程在空间离散时，需要遵循以下两个因素：离散的速度空间与物理空间是耦合的离散的格子具有足够的对称性获得格子结构满足守恒原则回归到N-S方程12.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程(3)相空间离散LBGK方程二维D2Q4D2Q512.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程(3)相空间离散目前，常用的离散格子主要有：LBGK方程D2Q7D2Q912.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程二维(3)相空间离散目前，常用的离散格子主要有：LBGK方程D3Q612.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程三维(3)相空间离散目前，常用的离散格子主要有：LBGK方程D3Q1512.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程三维(3)相空间离散目前，常用的离散格子主要有：LBGK方程D3Q1912.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程三维(3)相空间离散目前，常用的离散格子主要有：LBGK方程令：nymx)(e在x方向上分量e在y方向上分量则：nmnmIIRTI22其中：为的m阶矩积分deIm2RTRTx2/2/y或者(2.20)12.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程(3)相空间离散(以D2Q9模型为例)2e而：LBGK方程31jmjjmI积分点2/3,0,2/3321权系数6/,3/2,6/32112.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程(3)相空间离散(以D2Q9模型为例)对于形如的函数，可以采用Gauss-Hermite求积公式进行数值求解，其代数精度为2N-1。求解公式的阶数和矩方程函数有关。对于二阶的，需要采用三阶Gauss-Hermite求积公式（N=3）2eξLBGK方程则：12.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程(3)相空间离散(以D2Q9模型为例)3131222,221ijjijiRTRTRTIuuξuξ为积分点确定的矢量。和有九种组合。TjijiRT,2,ji,ji等温情况：RTc331scRTccs322（）LBGK方程权系数：12.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程(3)相空间离散(以D2Q9模型为例)8,7,6,5361,,,2,3,4191,,,094331113313223122122iiiiii，矢量的分量可以为0或者ji,cRT3232RT离散速度集合：8,7,6,5425,sin,cos22,3,4121,sin,cos0)0,0(iiiiiiiiciicii，eLBGK方程基于以上离散：22422232)(9)(31),,(cucuecuewtefWfiiieqieqix平衡态分布函数可以表示成如下形式tefteftefttetefeq,,,,1,,,,xxxxtftftftttefeqiiiii,,1,,xxxxLBGK方程12.1从连续Boltzmann方程到LBGK方程(3)相空间离散(以D2Q9模型为例)尽管LBE方法是从LGA方法发展而来的，但是，He和Luo却指出LBE方法可以由分子运动理论（即Boltzmann方程）严格的推导出来，这样就他们为LBE方法建立了坚实的理论基础。上节中我们给出了从连续Boltzmann方程到LBGK方程的推导过程，这一节，我们将给出从LBGK方程如何回归到宏观N-S方程的详细过程。12.2从LBGK方程到N-S方程LBGK演化方程12.2从LBGK方程到N-S方程tftftftttefeqiiiii,,1,,xxxx)(122)()(22222eqiiiiiiiiiiiffxxfeextfetftxfetft在时间和空间上按Taylor级数展开，略去及高阶项2t引入两个时间尺度和，一个空间尺度tt1tt221xx其中：，与Knudsen数的量级相同112.2从LBGK方程到N-S方程221ttt1xx3)2(2)1()0(Offffiiii对时间导数、空间导数和粒子分布函数进行多尺度展开：代入可以得到：12.2从LBGK方程到N-S方程)(11122)()0()1(1)0(1)0()2(11)0(211)0(221)0