高等计算流体力学讲义(2)

1高等计算流体力学讲义（2）第二章可压缩流动的数值方法§1.Euler方程的基本理论0概述在计算流体力学中，传统上，针对可压缩Navier－Stokes方程的无粘部分和粘性部分分别构造数值方法。其中最为困难和复杂的是无粘部分的离散方法；而粘性项的离散相对简单，一般采用中心差分离散。所以，本章主要研究无粘的Euler方程的解法。在推广到Navier－Stokes方程时，只需在Euler方程的基础上，加上粘性项的离散即可。Euler方程是一种典型的非线性守恒系统。下面我们将讨论一般的非线性守恒系统以及Euler方程的一些数学理论，作为研究数值方法的基础。1非线性守恒系统和Euler方程一维一阶非线性守恒系统(守恒律)可写为下列一般形式0xFtU，0,tRx（1）其中U称为守恒变量，是有m个分量的列向量，即TmuuuU),...,(21。TmfffF),...,(21称为通量函数，是U的充分光滑的函数，且满足归零条件，即：0)(lim0UFU即通量是对守恒变量的输运，守恒变量为零时，通量也为零。守恒律的物理意义设U的初始值为：0(,0)(),UxUxxR。如果0()Ux在xR中有紧支集（即0U在有限区域以外恒为零），则0(,)()UxtdxUxdxRR。即此时虽然(,)Uxt的分布可以随时间变化，但其总量保持守恒。多维守恒律可以写为0)(kHjGiFtU（2）守恒律的空间导数项可以写为散度形式。守恒系统（1）可以展开成所谓拟线性形式20)(xUUAtU（3）A是mm矩阵，称为系数矩阵或Jacobi矩阵，其具体形式为111122221212.........mmmmmmfffuuufffuuuAfffuuu（4），容易验证：FUAxx，通常也记FAU。流体力学无粘流动的Euler方程是典型的非线性守恒律，可以写为0xFtU（5）其中：TTuHpuuFEuU),,(),,(2（6）这里ρ，u，p，E，H分别为密度、速度、压力、总能和总焓。对于完全气体，221ueE，221uhH，)1(pe为内能，peh为焓。γ为比热比，对于空气，γ=1.4。把（5）式写成拟线性形式，其Jacobi矩阵为：uuEuEuuuA232213)1(1)3(2)3(010（7）守恒型方程和非守恒型方程。原始变量对应的非守恒型Euler方程()0txWAWW20()01/0uWuAWupau为什么要研究守恒型方程？使用非守恒型方程计算有激波间断的流动，激波位置或激波速度可能不对。32．双曲型方程的定义令Jacobi矩阵的特征值为mkk,,2,1,)(，则如果A的所有特征值均为实数且A可以对角化（即有m个线性无关的特征向量），则（3）式（以及（1）式）称为双曲系统。如果A的所有特征值为互异实数，则（3）式称为严格双曲系统。矩阵A的特征值，由下式定义：0IA（8）显然，对于mm阶矩阵，（8）式有m个根mkk,,2,1,)(。对于一维Euler方程，有：auuau)3()2()1(（9）其中pa为音速。显然Euler方程为双曲型方程。双曲型系统有m个独立的特征向量，设mlll,,21为左特征向量，则mklAlkkk,2,1,)(（10）左特征向量为行向量。设左特征向量组成的矩阵mlllL21（11）则：LLA（12）其中：(1)(2)()(,,,)mdiag(13)设mrrr,,21为右特征向量，则kkkrrA)(（14）右特征向量为列向量。设右特征向量组成的矩阵为mrrrR,,,21（15）4则：RAR（16）由（12）式，（16）式分别有1LLA（17）1RRA（18）矩阵A与一个对角阵相似，我们称A可以对角化。显然1LR。（19）3．特征线与Riemann不变量以左特征向量左乘（3）式0xUAtUlk（20）考虑到kkklAl，有：0xUtUlkk（21）我们称由Udttdxk（22）定义的一族曲线k为（3）式的特征线。沿特征线kkDUUUdxDttxdt显然在特征线上：0kDtDUlk，mk,,2,1（23）特征线的意义：对于两个自变量的双曲系统，通过引入特征线，可把偏微分方程组（3）式化为特征线上的常微分方程组（23）。（23）式称为特征相容关系。具体到一维Euler方程，左特征向量为：2122222232(1),,12211(1)2,2,221(1),,12211uuaaluaaluuauuaalua特征相容关系为0DtDuaDtDp，audtdx（24）50DtDS，udtdx（25）其中pCSvln为熵。对于均熵流动，（24）式可以积分出：constR，沿audtdx其中auR12。此时（25）式退化为：Sconst4.广义解(弱解)考虑Bergers方程0,0txuuuxRt(26)0(,0)()uxux考虑如下初始条件,010()10101xuxxxx当存在连续解时,0(,)(,0)()uxtuxutuxut由此可知11(,)1101xtxuxttxtx参见图1ut=1/2t=16即1t时11,1(,)|0,1txuxtx可见,对于非线性问题,即使初始值是连续的,其解仍然可能出现间断。对于Euler方程，其解的结构中可能出现激波或接触间断，此时，不存在古典意义下的解（古典解要求解是充分光滑的）。为此，必须拓展双曲型守恒律解的概念。定义（广义解或弱解）：设U(x,t)是分片连续可微的函数，在t0的半平面，如果对于与U(x,t)的间断线只有有限个交点的任意分段光滑的闭曲线，都有:()0FUdtUdx，(27)则称U(x,t)为方程0xFtU在初值U(x,0)=U0(x),x下的广义解或弱解。如果已知U(x,t)是光滑的，设围成的区域为，则由(27)式利用Green公式知()0UFdxdtFdtUdxtx(28)由于闭曲线可以在光滑区内任取，由(28)式可得：0xFtU（29）即，在光滑区，弱解就是古典解。假定),(txU是由一条间断线tXX分隔开的分片连续可微函数，取如图所示的闭曲线x=x(t)xt)(txx)(txxt=t2t=t1P7在上应用（27）式，有)()(2)(2221),(,,txtxtttxxdxtxUdtdtdxttxUdtttxUF1121()1()(),,(,)0txttxtxxtdxFUxttdtUxttdtUxtdxdt令0，则上式可简化为：210,0,0,0,0)()(tttxxtxxdtdtdxttxUttxUFdtdxttxUttxUF令ttxUU,0ttxUU,0)(txxdtdxD并考虑到t1,t2可以任意取值，有：FDU(30)其中UFUFF，UUU。上述关系（30）式称为Rankine-Hogoniot关系。综上所述，双曲型守恒律的弱解txU,是被有限个间断线分开的分片光滑函数。在光滑区，txU,满足微分方程（29）式，在间断线的两侧，txU,满足R-H关系。广义解是不唯一的。为了说明这一问题，我们举一个例子：考虑Burgers方程在初值为010()10xuxx时的解。此时，Bergers方程为2(/2)0txuu，初值在0x处有一个间断。0x处的Rankine-Hogoniot条件为：220000(/2)|(/2)|(||)xxxxuuDuu由上式知0D。所以，0(,)()uxtux在间断处满足Rankine-Hogoniot条件，在其他地方满足微分方程，即0(,)()uxtux是Bergers方程的一个广义解。另外，容易验证1(,)/1xtuxtxttxtxt也是Bergers方程的一个广义解。所以广义解一般不唯一，但是对于由明确物理意义的守恒8律，其中只有一个解是有物理意义的，我们称之为物理解。为了得到我们关心的物理解，广义解除了必须满足（27）式外，还必须满足附加的条件，这个条件因为与热力学第二定律所起的作用相同，被称为熵条件。5.熵条件熵条件1)物理解：方程22UFUtxx的解如果当0时，几乎处处有界的收敛到分片连续可微函数(,)Uxt，则(,)Uxt是0UFtx的物理解。熵条件2)解析熵条件：我们首先针对Euler方程讨论熵条件。对于Euler方程，熵有明确的物理意义。对于完全气体/Sp，其中是绝热指数（比热比）。在光滑区，有0DSDt或0SuStx。这个方程称为熵守恒方程。当存在间断时，0SSS这里我们假定激波前后的物理量分别记为(),()。此时Rankine-Hogoniot关系为：2(,,)(,,)TTFDUUuEFuupuH其中D是激波运动速度。由上述关系式的第一个方程，有uD，即：()0uD所以()()()()0uDSuDSuDSuDS9这里我们用到了()()0uDuD的条件，容易验证在激波上，这个关系总是成立的。所以，我们有：0uSDS由于在光滑区0SuStx，仿照弱解的定义，在包含有限间断线的分片光滑区域内，有0uSdtSdx。我们称这个条件为Euler方程的熵条件。通常我们定义熵函数为sUS，而sFuS称为熵通量，因此，熵条件也可以写为0ssUdxFdt。（31）对于一般的双曲型守恒律，熵函数和熵通量的定义并不是很明显。一般我们要求满足下列条件：（1）相容性条件：ssFUFUUU。由这个条件，当在光滑区0xFtU满足时，则0ssUUUFUtUx即0ssUUUFUUtUUx由相容性条件0ssUFUUUtUx所以0ssUFtx。也就是说，由守恒型方程0xFtU，我们可以得到熵守恒方程0ssUFtx。（2）凸条件：121201,((1))()(1)()sssUUUUUUU。这个条件反映了熵的性质。可以验证，上述针对Euler方程定义的熵函数和熵通量满足这些条件。熵条件3)几何熵条件：关于熵条件，我们还可以从另一个角度进行启发性分析：我们假定满足熵条件的广义解是存在和唯一的。因此，必须存在某种机制，使得广义解可以唯一确定。因为，当不存在间断时，广义解就是古典解，讨论熵条件没有意义，所以，我们只考虑存在间断的情况。此时，设间断的速度为D，则间断两侧由2m＋1个未知量。但是，Rankine-Ho