正弦定理余弦定理应用举例

6.4.3正弦定理，余弦定理应用举例复习正弦定理：余弦定理：三角形边与角的关系：RCcBbAa2sinsinsinAbccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos22221801CBA、2、大角对大边，小角对小边。，bcacbA2cos222，cabacB2cos222。abcbaC2cos222余弦定理的应用条件：（1）已知三边，求三个角。（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角。（3）已知两边及对角，求第三边和其它两角。正弦定理的应用条件：（1）两角和一边，先求第三角，再用正弦定理。（2）已知两边及对角，求第三边和其它两角。：实际测量中有许多应用正弦定理和余弦定理在）测量角度（3）测量高度（2）测量距离（1实际应用问题中有关的名称、术语1.仰角、俯角、视角。（1）当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。（2）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角。（3）由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般这两条视线过被观察物的两端点）水平线视线视线仰角俯角2.方向角、方位角。（1）方向角：指正北或指正南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角。（2）方位角：指从正北方向顺时针旋转到目标方向线的最小正角。东西北南60°30°45°20°ABCD点A在北偏东60°,方位角60°.点B在北偏西30°,方位角330°.点C在南偏西45°,方位角225°.点D在南偏东20°,方位角160°.ACB51o55m75o例1：如图，在河岸边有一点A，河对岸有一点B，要测量A，B两点的距离，先在岸边取基线AC，测得AC＝120m，∠BAC＝45°，∠BCA＝75°，求A，B两点间的距离．解：在△ABC中，AC＝120，A＝45°，C＝75°，则B＝180°－(A＋C)＝60°，由正弦定理，得AB＝ACsinCsinB＝120sin75°sin60°＝20(32＋6)．河的宽度呢？一点不可达例2：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA=60304560求A、B两点间距离.两点不可达m4060304560)]604530(180sin[)6045sin(40AC)]453060(180sin[45sin40BC45sin105sin40并且在C、D两点分别测得∠BCA=60°,∠ACD=30°,∠CDB=45°,∠BDA=60°.在⊿ADC和⊿BDC中，应用正弦定理得解：CD=40m,45sin45sin40),13(20.4060304560),13(20AC.40BC这样在三角形ABC中,∠BCA=60°,由余弦定理得：cos222BCACBCACAB60cos40)13(20240)13(20222.620答：A,B两点间的距离为米.620解：m4060304560)]604530(180sin[30sin40AD45sin40BD45sin30sin40并且在C、D两点分别测得∠BCA=60°,∠ACD=30°,∠CDB=45°,∠BDA=60°.在⊿ADC和⊿BDC中，应用正弦定理得CD=40m,,220.24060304560,220AD.240BD这样在三角形ABD中,∠BDA=60°,由余弦定理得：cos222BDADBDADAB60cos2402202)240()220(22.620答：A,B两点间的距离为米.620.CD,BC.AC,AB,.求出山高米部分的高为塔已知铁角处的俯处测得在塔底的俯角面上一点处测得地铁塔上在山顶如图例304560300ABCD底部不可达1315222615ACDsinACCD,ACDRt得中在261542-62130153000sinsinBCBACsinABCsinBCACBACsinBCABCsinAC得到解：在三角形ABC中,∠ABC=90°-α=30°,∠BAC=α-β=15°,∠ACD=45°.根据正弦定理，ABCD例4，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD.【解析】在ABC中，30,753045,CABACB根据正弦定理知，,sinsinBCABBACACB即6001sin3002m,sin222ABBCBACACB（）所以3tan30021006m.3CDBCDBC（）【例5】缉私艇在A点发现在北偏东45°方向，距离12nmile的海面上有一走私船位于C点正以10nmile/h的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14nmile/h.若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°＋α的方向去追．求追及所需的时间和角α的正弦值．2221410120.141210240cos120220sin120532820sin.2814532sin.14ACxBABxBCxACBxxxxABBC如图，设、分别表示缉私艇、走私船的位置，设经过小时后在处追上．则有＝，＝，＝所以＝＋－，所以＝，则＝，＝，＝＝所以追及所需的时间为小时，＝【解析】38303045.(sin150.26cos150.9721.1454)ABACA如图，海中小岛周围海里内有暗礁．一船正在向南航行，在处测得小岛在船的南偏东，航行海里后，在处测得小岛在船的南偏东如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险【？＝，＝，＝变式练习】例6sinsin3030sin30.sin15sin30sin1530sin30·sin45sin4540.8.sin1540.838BCACABACACABCdAC由正弦定理得＝，即＝，所以＝则点到直线的距离＝＝由于，故此船不改变航向也无触礁【解析】的危险．302练习