高等计算流体力学讲义(5)

1高等计算流体力学讲义（5）§7.TVD格式一、背景1.求解线性波动方程0txuauaconst的经典差分格式（1）一阶迎风格式（Firstorder）11100nnjjnnjjnnjjuuauuauua，其中tx。上式也可以写为：11/21/21/2111/211()()()22()()22nnnnjjjjnnnnnjjjjjnnnnnjjjjjuuffaafuuuuaafuuuu（2）Lax－Friedrichs格式（Firstorder）111111202nnnnnjjjjjuuuuuatx或11/21/21/2111/211()1()()22()()22nnnnjjjjnnnnnjjjjjnnnnnjjjjjuuffafuuuuafuuuu（3）Lax－Wendroff格式（secondorder）1211112222nnnnjjjjnnnjjjuuuuatauuutxx。或11/21/221/21121/211()()()22()()22nnnnjjjjnnnnnjjjjjnnnnnjjjjjuuffaafuuuuaafuuuu2（4）Warming－Beam格式（Secondorder）12122121212212342022342022nnnnnjjjjjnnnjjjnnnnnjjjjjnnnjjjuuuuuatauuuatxxuuuuuatauuuatxx2．二阶以上的差分或有限体积格式在间断附近的解可能会出现振荡。而一阶精度的格式通常会把激波“抹平”。参见图1和图2的（a），（b）。图1线性对流方程的解我们希望，构造一种二阶或以上精度的格式，使之可以比较准确的计算含有间断的流动，同时不产生非物理的数值振荡。这种格式称为“高分辨率格式”（如图1的（c），（d），图2的（c））。图233．单调格式单调格式是一种没有数值振荡的格式，它的定义为：定义：单调格式，设差分格式可以写为：),,(11nsinriniuuHu（1）其中r,s为非负整数。如果j，0njuH，则（1）式称为单调格式。一阶迎风和Lax－Friedrichs格式为单调格式。4．单调格式的性质★已知niu，利用单调格式（1）求得1niu，则：111max{}max{}min{}min{}min{}max{}nniiiinniiiinnnjijjjuuuuuuu★线性波动方程0uuatx的差分格式：1rlknnikikkkubu（2）是单调格式的充分必要条件是k，0kb。★Godunov定理线性单调格式最多能达到一阶精度。5．保单调性假定niu是单调的，如果通过（1）式得到的1niu具有与niu相同的单调性，则说差分格式（1）式具有保单调性。容易证明，（1）单调格式具有保单调性，（2）不存在二阶或二阶以上精度的线性保单调格式。即如果（2）式为线性格式（kb为常数）且具有保单调性，则（2）式至多有一阶精度。6．所谓高分辨率格式，是具有保单调性的，二阶或二阶以上精度的格式。容易知道，这类格式必定是非线性格式，即使求解的方程是线性的。本节我们只介绍其中的一种典型高分辨率格式：TVD格式。二、TVD格式的概念TVD（TotalVariationDiminishing）格式即总变差减小（不增）格式。所谓总变差，是衡量函数的光滑性的一种指标，其定义为：()()TVuuxdx（3）在离散点上，{}nniuu，有：41()nnniiiTVuuu（4）可以证明一维线性和非线性标量守恒律的解满足，2121(())(())TVutTVuttt这种性质称为TVD性质。既然一维标量守恒律的解析解满足TVD性质，要求其数值解也具有TVD性质就是很自然的了。定义：TVD格式11(,...,)nnniirisuHuu（5）称为TVD格式，如果1()()nnTVuTVun容易证明：TVD格式具有保单调性，所以在间断附近不会出现非物理振荡。三、TVD格式的构造1．TVD格式的充分条件和构造原则设一维标量守恒律0uftx的差分格式可以写成：111112222nniiiiiiuuCuDu（6）其中112nniiiuuu。12iC，12iD不仅与x，t有关，而且与物理量niu，niu1等有关。Harten证明了下列定理：定理：（6）式是TVD格式的充分条件是：021iC，021iD，102121iiDC（7）根据这一条件，我们可以构造精度高于一阶的TVD格式。下面介绍构造TVD格式的思路。方程0uftx；fuau的差分格式为：21211iininiffxtuu（8a）如果(8)具有TVD性质，记此时的数值通量为12TVDif。即11221iinnTVDTVDiituuffx（8b）5如果要求格式具有高于一阶精度，则12TVDif可以写成：02121212121LiHIiiLDiTVDiffff(9)其中01/2Lif是某一阶格式的数值通量，1/2HIif是二阶格式的数值通量。1/2i称为通量限制器（fluxlimiter）。我们希望选择合适的12i，使格式在光滑区具有二阶精度。当采用三点格式时，01/2Lif，1/2HIif可写成如下一般形式：01/2011Lnniiifauau1/2011HInniiifauau（10）01/2Lif可以有多种取法，如取s1210，s1211（11）时，01/2Lif为一阶迎风格式的数值通量，其中)(asigns。当取：cc1210，cc1211时，01/2Lif对应的差分格式为Lax-Friedrichs格式。注意，上式中atcx。二阶精度的三点格式只有Lax-Wendroff格式，即：c1210，c1211（12）把（10）式代入（9）式，有1112220001111[()]()[()]()TVDnniiiiifauau（13）把（13）代入（8b）式，得：21211iininiuDuCuu（14）])([21000icC])([21111icD6niniiuuu121niniiuuu121由（14）式，我们希望选取适当的0、0、，使得TVD条件（7）式得到满足，且格式为二阶精度。2、迎风型TVD格式如果我们取021Lif为一阶迎风格式的数值通量，则得到的差分格式称为迎风型TVD格式，记2121ii。则TVD格式的数值通量可以写为：112212111221(1)021(1)02nniiiTVDinniiiaucuaafaucuaa当a0时，niLiauf021，此时：1122010111101221,0,0[1(1)],(1),(1)icCcDccc（15）（14）式可以改写为：121ˆnniiiuuCu（16）1122ˆ/,iiCCDrruuHarten的TVD条件此时为：1122011[1(1)]1iiOcr（17）由（17）式，21i应是r的函数。显然我们要求1112220101[1(1)]1[1(1)]iiicccr（18）我们要求是有界的。所以可以对211引入下列限制条件：riTiB,21（19）B、T与i和r无关。（19）式可以等价地写为：12000[1(1)][1(1)][1(1)]TBiccc（20）7易知下式是（18）式成立的充分条件：120101[1(1)]1[1(1)]TBicccr（21）对（21）式左边不等式进行分析，可知：00)(21rifrifrLLi（22）rrTL11。对（21）中右侧不等式进行分析，有rrrRRi21ifif00rr（23）rccrBR11利用（19），（22），（23）式可以确定ri21的具体形式。在讨论ri21的具体形式之前，先讨论一下方程0xftuauf中0a的情况。此时，（14）式可以改写为：211ˆininiuDuu（24）ˆCDDr1212iiuruHarten的TVD格式的充分条件为：11110210211rcii（25）引入约束条件TiB21（26）为了满足TVD条件，需有：BiTcrcc11111112101（27）注意到此时0a，0c，如果把c用c代替，则（27）式与（21）式在形式上是相同8的。但是注意到0a和0a两种情况r的定义不同。把（27）式应用于21i处（把21i换为21i）。则（21），（27）式可以写成统一的形式。因此（22），（23）式也可以写成既使用于0a，也适用于0a的一般形式（在21i处）TBr（28）rrrLL00rr（29rrrRR00rr(30)rcrTL12(31)rcrBR2(32)ninininininininilocalupwinduuuuuuuur1121100aa(33)为了确定)(r的具体形式，必须首先规定B，T的值。一个常用的取法是0B，21Tc（34）注意到当=B=0时，1/2TVDif为一阶迎风格式的数值通量。21Tc时1/2TVDif为一阶“顺风”格式的数值通量。必须注意，T的取法具有一定的任意性，不同的取法，对于r平面上TVD格式对应的区域有直接影响。如Sweby取2T，他得到的TVD区域21Tc的情况不尽相同。把（34）式代入（31）、（32）有9()0Lr，2()Rrrc（35）即（28）~（30）式可以化为：20()1rc（36）00()00rrr（37）20()20rrcrrrc（38）由（36）~（38）式，知：时时00rr0)()2,12min(0rrccr）（（39）满足（39）式的)(r对应的格式，均为TVD格式。由（39）式，)(r的取法并不唯一。另外，如何使TVD格式达到二阶精度呢？容易看出其条件为(1)1。注意到()1r，（8b）为Lax－Wendroff格式，这是一个二阶精度的格式。容易验证，当()rr时，（8b）为Warming－Beam二阶迎风格式。所以，当()r夹在直线()1r和()rr之间时，格式（8b）可以看作两个二阶格式的加权平均，具有二阶精度。Sweby建议：)(r应尽量位于()1r和