3.9例题

Quantummechanics§3.9例题第二章波函数和薛定谔方程1/10例1,证明算符展开式(Baker-Hausdoff定理)ˆˆ11ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,[,]]...1!2!LLeaeaLaLLa证:引入函数并作泰勒展开()ˆˆ0(0)ˆ(),!nLLnnffeaen辅助参量ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆˆ[,()]LLLLdfLeaeeaeLLfd22()()ˆˆˆ[,][,[,()]]dfdfLLLfddQuantummechanics§3.9例题第二章波函数和薛定谔方程2/1022()()ˆˆˆ[,][,[,()]],......dfdfLLLfddˆˆˆˆˆˆ(0),(0)[,],(0)[,[,]],.......fafLafLLa()ˆˆ0(0)(0)(0)ˆ(1)(0)...!1!2!11ˆˆˆˆˆˆ[,][,[,]]...1!2!nLLnffffeaefnaLaLLaQuantummechanics§3.9例题第二章波函数和薛定谔方程3/10例2,能级E有3个简并态ψ1,ψ2,ψ3,彼此线性独立,但不正交,试把它们构成正交、归一的波函数.解:第一步,把ψ1归一化1111/|*|()()ijijxxdx第二步,22211c121221|0|c2112|c22121|再把φ‘2归一化2222/|第三步,33322311ccQuantummechanics§3.9例题第二章波函数和薛定谔方程4/10由正交性33322311cc131331232332|0||0|cc31133223|,|cc33232131||再把φ‘3归一化3333/|φ1,φ2,φ3满足正交归一化施密特正交归一化方法Quantummechanics§3.9例题第二章波函数和薛定谔方程5/10例4,一自由电子置于接地大导体平面上方,受大导体静电吸引.试求:(1),电子能级(2),基态电子与导体平面的平均距离(P87).xyzo-ez-ze解:大导体平面对电子的静电吸引可归结为像电荷(+e)与电子的相互作用,以电子到平面的垂线作为z轴,方向朝上,原点在平面上,电子与像电荷距离2z,相互作用力22(2)sefz沿z轴把电子(-e)从无限远出移到z处克服库仑力作功222()44zsseeUzdzzzQuantummechanics§3.9例题第二章波函数和薛定谔方程6/102()4seUzz22221ˆˆˆˆ()24()0,(0)sxyzeHpppzzz体系的哈密顿量为(,,)()()()xyzXxYyZz令:22()()()()()()()()24sxyzepXxYyZzEEEXxYyZzz2222222222()()2()()2()()()24xyszdXxEXxdxdYyEYydyedZzEZzdzz2222222222()()0()()022,xyyxxydXxkXxdxdYykYydyEEkkQuantummechanics§3.9例题第二章波函数和薛定谔方程7/10222224szedZZEZdzz22222[()]04(0)0szedZEZdzzZz222222(1)[()]0(0)0sedullEudrrru回想到氢原子径向本征值问题Quantummechanics§3.9例题第二章波函数和薛定谔方程8/10222222(1)[()]0(0)0sedullEudrrru本题相当于氢原子s态(l=0),es2→es2/4,u(r)→Z(z)(1),电子能级氢原子能级2422211,1,2,...22ssnBeeEnann电子能级4221,1,2,...32sneEnn22222[()]04(0)0szedZEZdzzZzQuantummechanics§3.9例题第二章波函数和薛定谔方程9/102222024(0)0szedZZEZdzzZz222222(1)[()]0(0)0sedullEudrrru本题相当于氢原子s态(l=0),es2→es2/4,u(r)→Z(z)(2),电子基态波函数氢原子基态波函数2/1010232(),BraBsBrurRreaea电子波函数/1321,4,()zaBznaaZzeaQuantummechanics§3.9例题第二章波函数和薛定谔方程10/10/132()zazZzea232/4333000442/()2zatazzZdzzedztzatedtaa电子到平面的平均距离202363!63.1742BsaaaAeQuantummechanics本章目录第三章量子力学中的力学量§3.1表示力学量的算符Operatorsexpressedthemechanicalquantities第三章量子力学中的力学量Mechanicalquantityinquantummechanics§3.3电子在库仑场中的运动ElectronicmovementinCoulombfield§3.2动量算符和角动量算符Momentumoperator&angularmomentumoperator§3.4氢原子HydrogenatomQuantummechanics本章目录第三章量子力学中的力学量§3.5厄密算符本征函数的正交性OrthogonalityofHermitianoperatoreigenfunction§3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系CommutationrelationofoperatorConditionsoftwomechanicalquantitiessimultaneouslywithdeterminevalueUncertaintyrelation§3.6算符与力学量的关系Relationsofoperator&mechanicalquantity§3.8力学量平均值随时间的变化守恒定律ChangingofaveragevalueofmechanicalquantitieswithtimeLawofconservation