条件概率

袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问第一个人取得红球的概率是多少？第二个人取得红球的概率是多少？1.4条件概率若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，简称为B对A的条件概率，记作P(B|A)。若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？一、条件概率例1.14设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回。(1)已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率；(2)求第二次取到红球的概率；(3)求两次均取到红球的概率。解设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球41)|()1(ABP522312)()2(25PBP10112)()3(25PABPS=ABA——第一次取到红球,B——第二次取到红球显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有nA个样本点，AB含有nAB个样本点，则AABnnABP)|(称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率定义设A、B是S中的两个事件，P(A)0，则)()(APABPnnnnAAB)A(P)AB(P)AB(P“条件概率”是“概率”吗？何时P(A|B)=P(A)?何时P(A|B)P(A)?何时P(A|B)P(A)?概率定义设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A，赋予一个实数P(A)与之对应，如果集合函数P(·)具有如下性质：①非负性：对任意一个事件A，均有P(A)≥0；②规范性：P(S)=1；③可列可加性：若A1，A2，…，An，…是两两互不相容的事件序列，即Ai∩Aj=φ(i≠j,i,j=1,2,…)，有P(A1∪A2∪…∪An∪…)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+…则称P(A)为事件A的概率。可以验证，条件概率P(·|A)符合概率所需满足的三条基本性质：①非负性：对任意一个事件B，均有0≤P(B|A)≤1；②规范性：P(S|A)=1；③可列可加性：若B1，B2，…，An，…两两互不相容，则有11)()(nnnnABPABP条件概率也满足概率的基本性质•条件概率的一般计算方法：•(1)根据A发生以后的情况直接计算A发生的条件下，B发生的条件概率。“缩减样本空间”•(2)先计算P(A)，P(AB)，再用公式)()()(APABPABP例1.15一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红白新4030旧2010设A--从盒中随机取到一只红球。B--从盒中随机取到一只新球。60An40ABn32)|(AABnnABP例1.16设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A为“至少有一张红桃”，B为“恰有2张红桃”，C为“恰有5张方块”，求条件概率P(B|A)，P(B|C)解135213391352135213391)(1)(CCCCCAPAP13521139213)(CCCABP13391352113921313521339135213521139213)()()(CCCCCCCCCCAPABPABP1352839513)(CCCCP1352626213513)(CCCCBCP83962621313528395131352626213513)()()(CCCCCCCCCCCPBCPCBP例1.17某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。解设A表示事件“活到20岁以上”，B表示事件“活到25岁以上”，显然AB7.0)(AP56.0)(BP56.0)()(BPABP8.07.056.0)()()(APABPABP二、概率的乘法公式设A、B、C为随机事件，P(A)0，则有乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)当P(AB)0时，上式还可推广到三个事件的情形：P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)一般地，n个随机事件A1,A2,…,An，且P(A1A2…An-1)0,有下列公式：P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1…An－1)例1.18甲、乙、丙三人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题中有4个难题签，按甲、乙、丙次序抽签，试求甲抽到难题签，甲和乙都抽到难题签，甲没抽到难题签而乙抽到难题签，甲、乙、丙都抽到难题签的概率。解设A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难题签的事件52104)(AP15293104)()()(ABPAPABP15494106)()()(ABPAPBAP3018293104)()()()(ABCPABPAPABCP返回例1.19盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。解设Ai为第i次取球时取到白球，则)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP52)(1AP63)|(12AAP73)|(213AAAP84)|(3214AAAAP三、全概率公式与贝叶斯公式•在概率论中，我们经常利用已知的简单事件的概率，推算出未知的复杂事件的概率。为此，常须把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和，再由简单事件的概率求得最后结果。•如在例1.18中，如果把甲、乙、丙抽到难题签的事件作为上述的复杂事件，则可用分解的方法计算如下：例1.18甲抽到难签的概率104)(AP例1.18乙抽到难签的概率，注意到)(BAABB)()()(BAPABPBP)()()()(ABPAPABPAP1049410693104丙抽到难签的概率，注意到CBACBABCAABCC)()()()()(CBAPCBAPBCAPABCPCP)()()()()()()()()()()()(BACPABPAPABCPABPAPBACPABPAPABCPABPAP1048495106839610483941068293104可将此类问题推广到一般情况。A1A2……………AnB事件组A1,A2,…,An组成样本空间S的一个完备事件组定理1.1设试验E的样本空间为S，B为E的事件。设事件组A1,A2,…,An组成样本空间S的一个完备事件组且设P(Ak)0,(k=1,2,…n),则)A|B()A()A|B()A()A|B()A()A|B()A()B(22111kknkkkPPPPPPPPP＝此公式称为全概率公式。2、全概率公式)AB(P)A(P)AB(P)A(PP(B)2,n:特例例1.20市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。)()|()()|()()|(332211APABPAPABPAPABP0225.02103.04101.04102.0)()()()(321BAPBAPBAPBP解设B：买到一件次品；A1：买到一件甲厂的产品；A2：买到一件乙厂的产品；A3：买到一件丙厂的产品。例1.21某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数01234概率0.10.20.40.20.1现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。解设A表示事件“一批产品通过检验”，Bi(i=0,1,2,3,4)表示“一批产品含有i件次品”，则B0,B1,B2,B3,B4组成样本空间的一个划分，1)(,1.0)(00BAPBP900.0)(,2.0)(10100109911CCBAPBP809.0)(,4.0)(10100109822CCBAPBP727.0)(,2.0)(10100109733CCBAPBP652.0)(,1.0)(10100109644CCBAPBP返回)()()(40kkkBAPBPAP814.0652.01.0727.02.0809.04.0900.0.021.0例1.21的结果提供给人们这样的信息，即若工厂生产了1000批产品，则可以通过检验，以合格品出产的约有814批，而作为合格品出售的产品，每批中仍可能含有i(i=0,1,2,3,4)件次品。因此，就顾客而言，希望所买的产品中含次品少的概率要大，即概率P(Bi|A)(i=0,1,2,3,4)中最大的一个所对应i的越小越好，这就是下面讨论的另一个重要公式。3、贝叶斯公式(Bayes)（逆概率公式）定理1.2设试验E的样本空间为S，B为E的事件。事件组A1,A2,…,An组成样本空间S的一个完备事件组，且P(Ak)0,(k=1,2,…n),及P(B)0，则nkPPPPPniiikkk,,2,1)AB()A()AB()A()BA(1此式称为Bayes公式。例1.21中，顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是多少？123.0814.011.0)|()()|()()|(40000iiiBAPBPBAPBPABP类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为1、2、3、4件的概率分别约为0.221、0.398、0.179、0.080。例1.22有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，1个白球。这6个球手感上不可区别。今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？解设A1——从甲袋放入乙袋的是白球；A2——从甲袋放入乙袋的是红球；B——从乙袋中任取一球是红球。12731433221)|()()|()()(2211ABPAPABPAPBP甲乙思考例1.22中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答74127)()|()()()|(1111APABPBPBAPBAP例1.23设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%。且各车间的次品率依次为4%，2%，5%。现从待出厂的产品中抽取1个产品，问(1)该产品是次品的概率，(2)该产品是由哪个车间生产的可能性最大。解设A表示产品为次品的事件，B1,B2,B3分别表示产品是甲、乙、丙车间生产的事件，则P(B1)=45%，P(B2)=35%，P(B3)=20%，且P(A|B1)=4%，P(A|B2)=2%，P(A|B3)=5%(1)P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=45%×4%+35%×2%+20%×5%=0.035(2)514.0035.004.045.0)()()()()()()()()(332211111BAPBPBAPBPBAPBPBAPBPABP200.0035.002.035.0)(2ABP286.0035.005.020.0)(3ABP若一病人高烧到40℃，医生要确定他患有何种疾病，则必须考虑病人可能发生的疾病B1,B2,…,Bn。这里假定一个病人不会同时得几种病，即B1,B2,…,Bn互不相容，医生可以凭以往的经验估计出发病率P(Bi)，这通常称为先验概率。进一步要考虑的是一个人高烧到40℃时，得Bi这种病的可能性，即P(Bi|A)的大小，它可由Bayes公式计算得到。这个概率表示在获得新的信息(即知病人高烧40℃)后，病人得B1,B2,…,Bn这些疾