简单的三角恒等变换(一)

3.2简单的三角恒等变换（一）1.巩固两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角正弦、余弦、正切公式；2.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换；3.通过三角恒等变换的训练，培养转化与化归的数学思想.复习巩固1.两角和差的正弦、余弦、正切公式2.二倍角正弦、余弦、正切公式sin22sincos2222cos2cossin2cos112sin2122tantantancos22与有什么关系？那么能用的三角函数表示出来吗？222cossin,cos,tan222反之，能用表示吗？2221cossin,cos,tan.222例试以表示2解：是的二倍，二倍角公式的变形22cos12sin.21cos2sin=.22即222cos2cos121cos2cos.21cos2tan=.21cos2由，得即21cos2sin=22，21cos2cos.2公式说明:从左到右降幂扩角，从右到左升幂缩角.也称为降幂公式.1cos2sin,221cos2cos,221cos2tan,21cos2例1的结果还可以表示为：并称之为半角公式.符号由所在象限决定.2思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．42sin,sin,cos,tan52222例已知且，试求的值.cos先求的值，再利用倍角公式的变形公式求半角的三分析：角函数值.24sin,523cos1sin.5.422解：，21cos24sin.22525sin.2521cos21cos.2255cos.25sin2tan2.2cos2和角公式的变形1sincossinsin;2sinsin2sincos.22例3求证：（1）（2）这两个式子的左右两边结构形式上有什么不同？sinsincoscossinsinsincoscossin.证明：(1)，将以上两式的左右两边分别相加，得sinsin=2sincos.1sincossinsin.2即（２）由(1)得：sinsin2sincos,设,22那么把的值代入上式中得,sinsin2sincos.22三角变换，应注意三角函数种类和式子结构特点的变化，分析透彻.找到它们之间的联系，即学会“三看”——看角、看函数名称、看式子结构.1.在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？++=+=.2222令，利用和差角公式展开，仿照（1）求解.2.在例2的证明中，用到哪种数学思想？+换元的思想，如把看作，把看作，从而把含有，的三角函数式变换成，的三角函数式.221.1cos1cos2tancos2sin22tan1cos2tantan1cos21tan2下列各式恒成立的是（）.A.=B.C.D.B2.2sin1cos,tan21122已知则等于（）.A.2B.C.或不存在D.不存在C1+cos0tan2sinsincos2221cos0tan2coscoscos2222sincossin122.122coscos22cos当时，不存在；当时，解：1cos23..1tan2tan2xxx化简2222coscossin22sincos22xxxxx解：原式22cossin1sin2.2cos2xxxx21cos2sin=22，21cos2cos.21.降幂公式；2.公式的灵活应用:正用、逆用、变形应用；4.换元思想.3.三角变换要三看：看角、看函数名称、看式子结构.不会宽容别人的人，是不配受到别人的宽容的。——贝尔奈