大学物理(第四版)课后习题及答案-机械振动

13机械振动解答13-1有一弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m，周期T=1.0s，初相=3π/4。试写出它的运动方程，并做出x--t图、v--t图和a--t图。13-1分析弹簧振子的振动是简谐运动。振幅A、初相、角频率是简谐运动方程tAxcos的三个特征量。求运动方程就要设法确定这三个物理量。题中除A、已知外，可通过关系式T2确定。振子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。解因T2，则运动方程tTtAtAx2coscos根据题中给出的数据得]75.0)2cos[()100.2(12tsmx振子的速度和加速度分别为]75.0)2sin[()104(/112tssmdtdxv75.0)2cos[()108(/112222tssmdtxdax-t、v-t及a-t图如图13-l所示13-2若简谐运动方程为4)20(cos)01.0(1tsmx，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）t=2s时的位移、速度和加速度。13-2分析可采用比较法求解。将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式tAxcos作比较，即可求得各特征量。运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t值后，即可求得结果。解（l）将]25.0)20cos[()10.0(1tsmx与tAxcos比较后可得：振幅A=0.10m，角频率120s，初相25.0，则周期sT1.0/2，频率HzT10/1。（2）t=2s时的位移、速度、加速度分别为mmx21007.7)25.040cos()10.0()25.040sin()2(/1smdtdxv)25.040cos()40(/2222smdtxda13-3设地球是一个半径为R的均匀球体，密度ρ5.5×103kg•m-3。现假定沿直径凿一条隧道。若有一质量为m的质点在此隧道内做无摩擦运动。（1）证明此质点的运动是简谐振动；（2）计算其周期。13-3分析证明方法与上题相似。分析质点在隧道内运动时的受力特征即可。证（l）取图13-3所示坐标。当质量为m的质点位于x处时，它受地球的引力为2xmmGFx式中G为引力常量，mx是以x为半径的球体质量，即3/43xmx。令3/4Gmk，则质点受力kxGmxF3/4因此，质点作简谐运动。（2）质点振动的周期为sGkmT31007.5/3/213-4如图所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1和k2，物体在光滑斜面上振动。（1）证明其运动仍是简谐振动；（2）求系统的振动频率。13-4分析从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）。为此，建立如图13-4（b）所示的坐标。设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O，Ox轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力。利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率。证设物体平衡时两弹簧伸长分别为x1、x2，则由物体受力平衡，有2211sinxkxkmg按图（b）所取坐标，物体沿x轴移动位移x时，两弹簧又分别被拉伸'1x和'2x，即''21xxx。则物体受力为)'(sin)'(sin111222xxkmgxxkmgF将式（1）代人式（2）得''2211xkxkF由式（3）得2211/'/'kFxkFx、，而''21xxx，则得到kxxkkkkF)/(2121式中)/(2121kkkkk为常数，则物体作简谐运动，振动频率mkkkkmk/)/(21/212/2121讨论（1）由本题的求证可知，斜面倾角对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响。事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动。而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因。（2）如果振动系统如图13-4（c）（弹簧并联）或如图13-4（d）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为mkk/)(2121读者可以一试。通过这些例子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的13-5为了测得一物体得质量m，将其挂在一弹簧上让其自由振动，测得振动频率Hz0.11。而将另一质量kgm5.0'的物体单独挂在该弹簧上时，测得振动频率Hz0.22。设振动均在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量。13-5分析物体挂在弹簧上组成弹簧振子系统，其振动频率mk/21，即m/1。采用比较频率的方法可求出未知物体的质量。解由分析可知，m/1，则有mm/'/21。根据题中绘出的数据可得物体的质量为kgmm0.2)/('21213-6在如图所示的装置中，一劲度系数为k的弹簧，一端固定在墙上，另一端连接一质量为m1的物体A，置于光滑水平桌面上。现通过一质量为m、半径为R的定滑轮B（可视为匀质圆盘）用细绳连接另一质量为m2的物体C，设细绳不可伸长，且与滑轮间无相对滑动，求系统的振动角频率。13-6分析这是一个由弹簧、物体A、C和滑轮B组成的简谐运动系统。求解系统的振动频率可采用两种方法。（1）从受力分析着手。如图13-6（b）所示，设系统处于平衡状态时，与物体A相连的弹簧一端所在位置为坐标原点O，此时弹簧已伸长x0，且gmkx20。当弹簧沿Ox轴正向从原点O伸长x时，分析物体A、C及滑轮B的受力情况，并分别列出它们的动力学方程，可解得系统作简谐运动的微分方程。（2）从系统机械能守恒着手。列出系统机械能守恒方程，然后求得系统作简谐运动的微分方程。解1在图13-6（b）的状态下，各物体受力如图13-6（c）所示。其中ixxkF)(0。考虑到绳子不可伸长，对物体A、B、C分别列方程，有22101)(dtxdmxxkFT(1)22222dtxdmFgmT(2)221221)(dtxdmRJRFFTT(3)gmkx20(4)方程（3）中用到了RamRJFFFFTTTT/2/''22211、及、、。联立式（l）-式（4）可得02/2122xmmmkdtxd则系统振动的角频率为)2//(21mmmk解2取整个振动装置和地球为研究系统，因没有外力和非保守内力作功，系统机械能守恒。设物体平衡时为初始状态，物体向右偏移距离X（此时速度为对v、加速度为a）为末状态，则由机械能守恒定律，有2022221220)(2121212121xxkJvmvmgxmkx在列出上述方程时应注意势能（重力势能和弹性势能）零点的选取。为运算方便，选初始状态下物体C所在位置为重力势能零点；弹簧原长时为弹性势能的零点。将上述方程对时间求导得20212)(0xxkdtdvJdtdvvmdtdvvmgvm将02222//2/kxgmdtxddtdvvRmRJ和、、代人上式，可得02/2122xmmmkdtxd式（6）与式（5）相同，表明两种解法结果一致。17-7一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m,周期T=0.50s。当t=0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置向负方向运动；（3）物体在..x=1.0×10-2m处，向负方向运动；（4）物体在..x=-1.0×10-2m处，向正方向运动。求以上各种情况的运动方程。13-7分析在振幅A和周期T已知的条件下，确定初相中是求解简谐运动方程的关键。初相的确定通常有两种方法。（1）解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即t=0时，x=xo和0vv来确定值。（2）旋转矢量法：如图13-7（a）所示，将质点P在Ox轴上振动的初始位置x0和速度v0的方向与旋转矢量图相对应来确定。旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用。解由题给条件知mA2100.2，14/2sT，而初相可采用分析中的两种不同方法来求。解析法：根据简谐运动方程tAxcos，当t＝0时有cos0Ax，sin0Av。当（1）；，则时，01cos110Ax（2）；，取，因，则时，2020cos20220vAx（3）；，取，因，则时，3035.0cos100.1303320vmx（4）；，取，因，则时，34035.0cos100.1404420vmx旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转关量图，如图13-7（b）所示，它们所对应的初相分别为01，2/1，3/1，3/41。振幅A、角频率、初相均确定后，则各相应状态下的运动方程为（1）tsmx)4cos()100.2(12（2）]2)4cos[()100.2(12tsmx（3）]3)4cos[()100.2(12tsmx(4）]34)4cos[()100.2(12tsmx13-8有一弹簧，当其下端挂一质量为m的物体时，伸长量为9.8×10-2m。若使物体上下振动，且规定向下为正方向。（1）t=0时，物体在平衡位置上方8.0×10-2m处，由静止开始向下运动，求运动方程。（2）t=0时，物体在平衡位置并以0.60m/s的速度向上运动，求运动方程。13-8分析求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A、，和。其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量m及弹簧劲度系数k）决定的，即mk/，可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅A和初相需要根据初始条件确定。解物体受力平衡时，弹性力F与重力P的大小相等，即F=mg。而此时弹簧的伸长量ml2108.9。则弹簧的劲度系数lmglFk//。系统作简谐运动的角频率为110//slgmk（1）设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x轴正向。由初始条件t=0时，mx210100.8，010v可得振幅mvxA2210102100.8)/(；应用旋转矢量法可确定初相1。[图13-8（a）]。则运动方程为])10cos[()100.8(121tsmx（2）t=0时，020x，1206.0smv，同理可得mvxA22202022100.6)/(，2/2；[图13-8（b）]。则运动方程为]5.0)10cos[()100.6(121tsmx13-9某振动质点的x-t曲线如图所示，试求：（1）运动方程；（2）点P对应的相位；（3）到达点P相应位置所需要的时间。13-9分析由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题。本题就是要通过x-t图线确定振动的三个特征量量A、，和0，从而写出运动方程。曲线最大幅值即为振幅A；而、0通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比较方便解（1）质点振动振幅A＝0.10m。而由振动曲线可画出t=0和t=4s时旋转矢量，如图13-9（b）所示。由图可见初相）或3/5(3/00，而由3201tt得124/5s，则运动方程为3245cos)10.0(1tsmx（2）图14-9（a）中点P的位置是质点从A/2处运动到正向的端点处。应的旋转矢量图如图13-10（C）所示。当初相取3/0时，点P的相位为0)0(0pPt（如果初相取3/50，则