2018年中考备战策略数学第29讲-与圆有关的位置关系

宇轩图书第29讲与圆有关的位置关系宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点一点、直线与圆的位置关系1．点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有三种，分别是点在圆外、点在圆上和点在圆内．如图，设⊙O的半径为r，平面内任一点到圆心的距离为d，则(1)点在圆外⇔dr，如点A；(2)点在圆上⇔d＝r，如点B；(3)点在圆内⇔dr，如点C．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练2．直线与圆的位置关系的性质和判定直线与圆的位置图形(设r是⊙O的半径，d是圆心O到直线l的距离)公共点个数圆心到直线的距离d与半径r的关系公共点名称直线名称相交2dr交点割线宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练相切1d＝r切点切线相离0dr无无宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点二切线的判定和性质1．切线的判定方法(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2．切线的性质(1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；(2)推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；(3)推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练温馨提示：1．要证的直线与圆有公共点，且存在连接公共点的半径，此时可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明．口诀是“见半径，证垂直”．2．给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径，则连接公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明．口诀是“连半径，证垂直”．3．当直线与圆的公共点不明确时，则过圆心作该直线的垂线，然后根据“圆心到直线的距离等于圆的半径，该直线是圆的切线”来证明．口诀是“作垂直，证相等”．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点三*切线长定理1．切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点四三角形的外接圆和内切圆名称三角形的外接圆三角形的内切圆圆心名称三角形的外心三角形的内心描述经过三角形三顶点的圆，外心是三角形三边中垂线的交点与三角形三边都相切的圆，内心是三角形三条角平分线的交点宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练图形示例性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等三角形的内心到三角形三边的距离相等宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点五正多边形与圆1．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．2．正多边形的边数为n，外接圆半径为R，则边长an＝2Rsin180°n；周长C＝2nRsin180°n；边心距rn＝Rcos180°n.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点一点与圆的位置关系例1(2017·枣庄)如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点为格点)．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为()A．22＜r＜17B．17＜r≤32C．17＜r＜5D．5＜r＜29宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练【点拨】如图，∵AD＝22，AE＝AF＝17，AB＝32，∴AB＞AE＞AD，∴当17＜r≤32时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．故选B．【答案】B宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点二直线与圆的位置关系例2(2017·百色)以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是()A．0≤b＜22B．－22≤b≤22C．－23＜b＜23D．－22＜b＜22宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练【点拨】如图，当直线y＝－x＋b与圆相切，且函数经过第一、二、四象限时，在y＝－x＋b中，当x＝0时，y＝b，则与y轴的交点是B(0，b)；当y＝0时，x＝b，则与x轴的交点是A(b，0)，则OA＝OB，即△OAB是等腰直角三角形．连接圆心O和切点C，则OC＝2，则OB＝2OC＝22，即b＝22；同理，当直线y＝－x＋b与圆相切，且函数经过第二、三、四象限时，b＝－22.综上所述，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是－22＜b＜22.故选D．【答案】D宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点三切线的性质例3(2017·贺州)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于点E，F，连接BD．(1)求证：AF⊥EF；(2)若AC＝6，CF＝2，求⊙O的半径．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练【点拨】(1)连接OD，由切线的性质和已知条件可得OD⊥EF，AF∥OD，即可证得结论；(2)过D作DG⊥AE于点G，连接CD，则可证得△ADF≌△ADG，△CDF≌△BDG，则可求得AB的长，即可求得⊙O的半径．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练(1)证明：如图①，连接OD，宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练∵EF是⊙O的切线，且点D在⊙O上，∴OD⊥EF.∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO.∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，∴∠ADO＝∠DAC，∴AF∥OD，∴AF⊥EF；宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练(2)解：如图②，过D作DG⊥AE于点G，连接CD．∵∠BAD＝∠DAF，AF⊥EF，DG⊥AE，∴DG＝DF.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练在Rt△ADF和Rt△ADG中，AD＝AD，DF＝DG，∴Rt△ADF≌Rt△ADG(HL)．同理可得Rt△CDF≌Rt△BDG，∴BG＝CF＝2，AG＝AF＝AC＋CF＝6＋2＝8，∴AB＝AG＋BG＝8＋2＝10，∴⊙O的半径OA＝12AB＝5.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练方法总结：已知圆的切线，若图中没有连接切点的半径，可连接切点与圆心构造直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理或直角三角形的两锐角互余解答问题．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点四切线的判定例4(2017·天水)如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接OE并延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练【点拨】(1)连接OB，由垂径定理的推论得出BE＝DE，OE⊥BD，BF︵＝DF︵＝12BD︵，由圆周角定理得出∠BOE＝∠A，证出∠OBC＝∠OBE＋∠DBC＝90°即可；(2)由勾股定理求出OC，由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长．(1)证明：如图，连接OB．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练∵E是弦BD的中点，∴BE＝DE，OE⊥BD，BF︵＝DF︵＝12BD︵，∴∠BOE＝∠A，∠OBE＋∠BOE＝90°.∵∠DBC＝∠A，∴∠BOE＝∠DBC，∴∠OBC＝∠OBE＋∠DBC＝90°，∴BC是⊙O的切线；宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练(2)解：∵OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，∴OC＝OB2＋BC2＝10.∵△OBC的面积＝12OC·BE＝12OB·BC，∴BE＝OB·BCOC＝6×810＝4.8，∴BD＝2BE＝9.6，即弦BD的长为9.6.方法总结：证明圆的切线分为三种情况：有过切点的半径，证垂直；有切点，无半径，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证相等．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点五正多边形和圆例5(2017·宜宾)如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE＝2，则EG的长是____．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练【点拨】在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG＝x，易知∠AEB＝∠ABE＝∠EAG＝36°，∠BAG＝∠AGB＝72°，∴AB＝BG＝AE＝2.∵∠AEG＝∠AEB，∠EAG＝∠EBA，∴△AEG∽△BEA，∴AE2＝EG·EB，∴22＝x(x＋2)，解得x＝－1＋5或－1－5，∴EG＝5－1.【答案】5－1宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练1．已知⊙O的半径为4cm，A为线段OP的中点，当OP＝7cm时，点A与⊙O的位置关系是(A)A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是(A)A．相交B．相切C．相离D．不确定宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练3．(2017·济南)把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB＝60°.若量出AD＝6cm，则圆形螺母的外直径是()A．12cmB．24cmC．63cmD．123cm宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练【解析】如图，设⊙O与AB的切点为E，连接OD，OA，OE，∴∠ODA＝∠OEA＝90°，∠OAD＝∠OAE.∵∠CAB＝60°，∴∠DAE＝120°，∴∠OAD＝60°，∠AOD＝30°.∵AD＝6cm，∴OA＝12(cm)．在Rt△OAD中，OD＝OA2－AD2＝122－62＝63(cm)，即圆形螺母的外直径为123cm.故选D．【答案】D宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练4．(2017·日照)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC．AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是()A．53B．52C．5D．52宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练【解析】如图，过点O作OD⊥AC于点D．∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，∴AB⊥AP，∴∠BAP＝90°.∵∠P＝30°，∴∠AOP＝60°，∴∠AOC＝120°.∵OA＝OC，∴∠OAD＝30°.∵AB＝10，∴OA＝5，∴OD＝12AO＝52，∴AD＝AO2－OD2＝532，∴AC＝2AD＝53.故选A．【答案】A宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练5．(2017·徐州)如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为D，AB＝BC＝2，则∠AOB＝60°.【解析】∵OA⊥BC，BC＝2，∴由垂径定理，得BD＝12BC＝1.在Rt△ABD中，sinA＝BDAB＝12，∴∠A＝30°.∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∴∠AOB＝60°.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB，BC均相切，则⊙O的半径为．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练【解析】∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴由勾股定理可得BC＝4.又∵点D是BC的中点，∴BD＝CD＝2，∴AD＝22＋32＝13.如图，设BC，AB分别与⊙O相切于点E，F，连接OE，OF，则OE⊥BC，OF⊥AB，易得△DOE∽△DAC，∴DEDC＝OEAC.设DE＝x，OE＝r，则x2＝r3，∴x＝2r3，宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练∴OD＝r2＋2r32＝133r