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数学电子教案考点课标要求难度直线和圆的位置关系1．了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念．2．探索切线与过切点的半径的关系：切线垂直于过切点的半径；反之，过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．3．会用三角尺过圆上一点画圆的切线．4．探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．中等了解圆与圆的位置关系1．了解圆与圆的位置关系．易题型预测与圆有关的位置关系是圆的三大块之一，直线与圆的位置关系常常以解答题的形式出现，受课程标准的制约，这部分考题一般不难．点在圆外点在点在圆内＞＝＜相离相切相交＞＝＜圆上内含内切相交外切外离＜＝＜＜＝＞一个半径垂直半径垂直于切点圆心线段的长度两条切线长两条切线的夹角垂直等于考点1相交、相切、相离（考查频率：★★☆☆☆）命题方向：（1）给出圆的半径和圆心到直线的距离，判定直线与圆的位置关系；（2）需要分类讨论直线与圆的位置解决问题．1．（2013山东青岛）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（）A．r＜6B．r＝6C．r＞6D．r≥62．（2013江苏常州）已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法判断CCC3．（2013福建泉州）如图，直线分别与x、y轴交于点B、C，点A（－2，0），P是直线BC上的动点.（1）求∠ABC的大小；（2）求点P的坐标，使∠APO＝30°；（3）在坐标平面内，平移直线BC，试探索：当BC在不同位置时，使∠APO＝30°的点P的个数是否保持不变？若不变，指出点P的个数有几个？若改变，指出点P的个数情况，并简要说明理由.323yx考点2切线的定义及性质（考查频率：★★★☆☆）命题方向：（1）运用“过切点的半径与切线互相垂直”得到90°的角；（2）利用弦切角证明角度相等问题．4．（2013山东枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．（2013湖南永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°．则∠B＝度．A60考点3切线的判定（考查频率：★★★★☆）命题方向：判定直线与圆是否相切．6．（2013四川凉山州）在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（－3，－1），C（－3，1），D（－2，－2），E（0，－3）.（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；（2）若直线l经过点D(－2，－2)，E(0，－3)，判断直线l与⊙P的位置关系.考点4圆与圆的位置关系（考查频率：★★★☆☆）命题方向：由两圆和圆心距判定两圆的位置关系．7．（2013四川凉山州）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和3cm，圆心距O1O2为5cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切8．（2013山东烟台）如图，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是（）A．6cmB．3cmC．2cmD．0.5cmBD9．（2013江苏泰州）如图，⊙O的半径为4cm，直线l与⊙O相交于A、B两点，AB＝cm，P为直线l上一动点，以1cm为半径的，⊙P与⊙O没有公共点，设PO＝dcm，则d的范围是.10．（2013贵州省六盘水）若⊙A和⊙B相切，它们的半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为_____________．432＜d＜3或d＞510或6考点5方案设计问题（考查频率：★★☆☆☆）命题方向：与圆有关的方案设计问题；11．（2013四川广安）雅安芦山发生7.0级地震后，某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具，寄给灾区的小朋友，已知如图10，是腰长为4的等腰Rt△ABC，要求剪出的半圆的直径在△ABC的边上，且半圆的弧与△ABC的其他两边相切，请作出所有不同方案的示意图，并求出相应半圆的半径（结果保留根号）．例1：（2013浙江湖州）如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连结PB．（1）求BC的长；（2）求证：PB是⊙O的切线．【解题思路】（1）由弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，劣弧CB的度数为60°，故连接OB，可得∠COB＝60°，于是可证得△OBC是等边三角形，从而求得BC的长；解：（1）连接OB，∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，∴∠COB＝60°，又∵OC＝OB．∴△OBC是正三角形，∴.BC＝OC＝2．（2）证明：∵BC＝CP，∴.∠CBP＝∠CPB，∵△OBC是正三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝60°．∴∠CBP＝30°，∴∠OBP＝∠CBP+∠OBC＝90°，∴OB⊥BP，∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．【解题思路】（2）由OC＝CP＝2，△OBC是等边三角形，可得BC＝CP，于是∠P＝∠CBP，再由等边三角形的性质得∠OBC＝60°，∠CBP＝30°，因而OB⊥BP，所以PB是⊙O的切线．【思维模式】本题第一问由弧的度数运用垂径定理等知识转化得到了圆心角度数，从而可利用等边三角形来线段长度，充分体现了数形结合思想的应用；第二问借助切线判定中“连半径证垂直”的思路，充分利用了等边三角形和等腰三角形性质得到直角，从而证得结论．【必知点】切线的判定方法：①过圆的半径外端作半径的垂线，此垂线即圆的切线（简记为“连半径，证垂直”）；②过圆心作某一条直线的垂线，若垂线段等于半径长，则该直线是圆的切线（简记为“作垂线，证相等”）；③利用切线长定理的逆命题证明（若PA是圆的切线，A是切点，B是圆上的另一点，且PA＝PB，则PB是圆的切线）．【解题思路】（1）连接OD，直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B且⊙O的半径为8得出OB＝4，OD＝8，利用勾股定理求BD，再根据垂径定理知，CD＝2BD可求CD；【解题思路】（2）要证明PE＝PF，只需证明∠PEF＝∠PFE即可，利用等角的余角相等可证明∠PEF＝∠PFE；（2）∵PE是⊙O的切线，∴∠PEO＝90°，∴∠PEF＝90°－∠AEO，∠PFE＝∠AFB＝90°－∠A∵OE＝OA，∴∠A＝∠AEO，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF；【思维模式】（1）在圆中，已知半径、弦心距、弦长中的两个量求第三个量用勾股定理来求；（2）证明线段相等的方法很多，例如利用全等三角形、等腰三角形的判定以及利用相似三角形等，本题是利用“等角对等边”来证明线段相等的；（3）利用锐角三角函数求线段长，通常是用转化的方法，把利用已知角的三角函数代换与之相等角的三角函数．例3：（2013湖北随州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB、AC的延长线于点E、F．（1）求证：AF⊥EF．（2）小强同学通过探究发现：AF＋CF＝AB，请你帮忙小强同学证明这一结论．【解题思路】（1）证OD⊥EF，OD∥AF．（2）构造等腰三角形ABG，证CF＝GF．BEACDOF（1）连接OD，则OD⊥EF．∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．∵∠OAD＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ODA．∴OD∥AF．∴AF⊥EF．（2）延长BD、CF交于点G，连接CD、BD．∵AB为直径，∠ADB＝90°．∵AD平分∠BAC，∴AB＝AG，CD＝DB．∴GD＝DB．∴CD＝GD．∵AF⊥EF，∴CF＝GF．∴AF＋CF＝AB．【方法规律】（1）过切点连半径是圆中添加辅助线时常见的一种．（2）AD既是∠BAC的平分线，又是三角形ADB的高线，联想到等腰三角形的“三线合一”性质，由此构造等腰三角形．例1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，R为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，求R的值．【易错点睛】当⊙C与AB相切时，只有一个交点，同时要注意AB是线段，当圆的半径R在一定范围内时，AB与⊙C相交且只有一个公共点.例2：已知⊙O1和⊙O2相切，两圆的圆心距为9cm，⊙O1的半径为4cm，则⊙O2的半径为（）A．5cmB．13cmC．9cm或13cmD．5cm或13cm【易错点睛】题目没有画图，在圆中，两圆相切要考虑两种情况，外切、内切，外切时，d＝R＋r，内切时，d＝R－r，本题容易考虑问题不全面．