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圆的常用辅助线及作法圆是初中几何学习中重要内容，学好圆的有关知识，掌握正确的解题方法，对于提高学生的综合能力非常重要，而在解决圆的有关问题时，恰当添设辅助线则是解题的关键。•一、添设圆的辅助线的常用思想•添设圆的辅助线是几何学习的重要方法。在作辅助线时，应从结论入手分析，寻找题设和结论之间的关系，寻找隐含的条件，使辅助线起到“搭桥铺路”的作用。二、常用辅助线作法的应用•在解决与弦、弧有关的问题时，常作弦心距、半径等辅助线，利用垂径定理、推论及勾股定理解决问题。•2.1、弦心距----有弦，可作弦心距。例1、一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．求此时的水深。由垂径定理得：AE=EB，由勾股定理可得OE=0.4米，则水深0.1米.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA。E在解决有关直径的问题时，常作直径上的圆周角，构成直径所对的圆周角是直角，寻找隐含的条件，从而得到所求结论。2.2、直径圆周角----有直径，可作直径上的圆周角.例2、如图，AD是△ABC外接圆的直径，AD=6cm，∠DAC=∠ABC．求AC的长．分析：连接CD，可得∠DAC=∠ADC．则AC=CD=32cm在解决有关切线问题时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理；或者连结过切点的弦，利用弦切角定理，使问题得以解决。2.3、切线径----有切点，可作过切点的半径。例3、如图，AB、AC与⊙O相切有与B、C点，∠A=50°，点P优弧BC的一个动点，求∠BPC的度数。∴∠BOC=360°-∠A-∠ABO-∠ACO=360°-50°-90°-90°=130°解：连结OB、OC，∵AB、AC是⊙O的切线∴AB⊥OB，AC⊥OC，在四边形ABOC中，∠A=50°∴∠BPC==65°∴∠ABO=∠ACO=90°在解决两圆相交的问题时，常作两圆的公共弦，构成圆内接四边形。再利用圆内接四边形定理，架设两圆之间的”桥梁”，从而寻找两圆之间的等量关系。2.4、两圆相交公共弦----两圆相交，可作公共弦。例4、如图，已知：⊙O和⊙O相交于A、B两点，过A点的直线CD分别交⊙O和⊙O于C、D；过B点的直线EF分别交⊙O和⊙O于E、F。求证：CE∥DF。∴CE∥DF12221121证明：连结AB四边形ACEB是⊙O的内接四边形∴∠DAB=∠E四边形ABFD是⊙O的内接四边形∴∠DAB+∠F=180°∴∠E+∠F=180°在解决有关中点和圆心的问题时，可先连结中点与圆心。利用垂径定理，或者是三角形、梯形的中位线定理，可求出所需要的结论。2.5、中点圆心线---有中点和圆心，可连结中点与圆心。例5、如图，已知AB、CD是⊙O的两条弦，M、N分别是AB、CD的中点，并且∠AMN=∠CNM。求证：AB=CD。即：AB=CD证明：连结OM、ON∵M、N分别是AB、CD的中点∴OM⊥AB，ON⊥CD∴∠AMO=∠CNO=90°又∵∠AMN=∠CNM∴∠OMN=∠ONM∴OM=ON弦与弦心距，亲密紧相连。中点与圆心，连线要领先。两个相交圆，不离公共弦。遇直径想直角，遇切点作半径。•圆的常用辅助线作法的“数学歌诀”三、尝试练习一1、如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于A、B和C、D点。求证：（1）、AB=CD（2）、PB=PD。∵PO平分∠BPA，∴OM=ON∴AB=CD。（1）、证明：过O作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足为M、N。MN三、尝试练习一1、如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于A、B和C、D点。求证：（1）、AB=CD（2）、PB=PD。（2）、∵AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD∴AM=MB=CN=ND又∵OM=ON，∴RtΔPMO≌RtΔPNO∴PM=PN∴PM+MB=PN+ND即：PB=PD2、如图，以RtΔABC的直角边AC为直径作⊙O交斜边AB于P，过B、P任意作一个圆，过A作所作圆的切线AD，切点为D。求证：即：AD=ACAC是⊙O的直径，∴∠APC=90°∵∠ACB=90°，∴ΔAPC∽ΔACB又∵AD是大⊙的切线证明：连结CP，3、如图，在⊙O中，半径OA⊥OB垂足为O，P是OB上任意一点，AP交⊙O于Q，过Q点的切线交OB的延长线于C。求证：CP=CQ。∵QC是⊙O的切线，∴∠OQC=90°∵OA=OQ，∴∠OAQ=∠OQA又OA⊥OB，∴∠APO=90°-∠OAP∠CQP=∠90°-∠OQA∠APO=∠CQP∴∠CQP=∠CPQ，∴CP=CQ。证明：连结OQ4、已知、AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，E是AC的中点。求证：ED是⊙O的切线。OE是ΔABC的的中位线∴OE∥BC∠AOE=∠B，∠EOD=∠ODB∵OB=OD，∴∠B=∠ODB∴∠AOE=∠EOD又AC是⊙O的切线，∠OAE=90°∵OD=OA∠AOE=∠EODOE=OE∴ΔEAO≌ΔEDO∴∠EDO=∠EAO=90°即：ED是⊙O的切线。证明：连结OD，OE5、已知：MN切⊙O于A点，PC是直径，PB⊥MN于B点，求证：分析：2PAPBPC=2PAPBPC=证明：连结AC、AP∵PC是⊙O的直径∴∠CAP=90°∵PB⊥MN∴∠PBA=90°∴∠CAP=∠PBA∵MN是⊙0的切线∴∠BAP=∠ACP谢谢！