第3章-连续信号的正交分解

《信号与线性系统》第3章信号分析3.1引言复杂信号可以分解成单位冲激函数的叠加LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征信号分析——研究信号如何表示为各分量的和通常用正交函数集作为单元函数三角函数集《信号与线性系统》第3章信号分析3.2正交函数集和信号的分解3.2.1矢量的正交分解1.矢量的分量oV2V190°《信号与线性系统》第3章信号分析1.矢量的分量两矢量V1与V2正交时的夹角为。矢量V1在V2上的分量为c12V2，则所以系数oV2V1Vec12V2cos1212VVc222121212112coscosVVVVVVVVVVc《信号与线性系统》第3章信号分析分析若V1与V2正交，则θ=90°,cosθ=0，此时系数c12=0。这表明当V1与V2正交时，用c12V2来近似表示V1还不如用0来近似V1。因此，我们可以把两个矢量V1与V2正交的概念解释如下：给定两个矢量V1和V2，现在要用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，要求误差矢量Ve=V1‒c12V2的模|Ve|最小(此时的c12称为最佳)。若最佳的c12=0，则V1与V2当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1·V2=0。当V1=V2时，c12=1《信号与线性系统》第3章信号分析2.矢量的正交分解平面矢量的正交分解oVc2V2c1V1V1V2212211VcVcV222222111111coscosVVVVVVcVVVVVVc《信号与线性系统》第3章信号分析2.矢量的分解三维空间矢量的正交分解oVc3V3c1V1V1V3V2c2V2332211VcVcVcV《信号与线性系统》第3章信号分析2.矢量的分解推广到n维情况nnrrVcVcVcVcV2211rrrrVVVVc其中，系数《信号与线性系统》第3章信号分析3.2.2信号的正交分解1、正交函数——设f1(t)和f2(t)为定义在(t1,t2)区间上的两个函数，现在要用与f2(t)成比例的一个函数c12f2(t)近似地代表f1(t)，其误差函数为dttfEtfctftftteee2122121)()()()(《信号与线性系统》第3章信号分析设f1(t)、f2(t)均为复函数，此时，c12也可能为一复数系数。式中，“*”代表取共轭复数。将上式右边展开，得dttfctftfctfdttfctfdttfEttttttee212121)]()([)()()()()(*2*1212121221212dttftfcdttfcdttftfcdttfEtttttttte21212121)()()()()()(21*1222212211221《信号与线性系统》第3章信号分析据平方误差的定义知Ee≥0，式中惟一可供选择的参数为c12。为使误差能量Ee最小，于是有若f1(t)、f2(t)正交，c12应为零。因此dttfdttftfctttt2121222112)()()(0)()(2121dttftftt《信号与线性系统》第3章信号分析2.信号的正交展开设有一函数集｛g1(t),g2(t)，…，gN(t)｝，它们定义在区间(t1,t2)上，如果对于所有的i、j(可取1,2,…，N)都有ijttiKdttgtg0)()(*21jiji则该函数集就称为区间(t1,t2)上的正交函数集。如果10)()(*21dttgtgjttijiji则称该函数集为归一化正交函数集。《信号与线性系统》第3章信号分析例如,三角函数集｛1,cosΩt,cos2Ωt,…,cosmΩt,…,sinΩt,sin2Ωt,…,sinnΩt,…｝在区间（t0,t0+Ｔ）(式中T=2π/Ω)组成正交函数集,而且是完备的正交函数集。这是因为《信号与线性系统》第3章信号分析1.三角傅里叶级数周期为T的函数f(t)都可分解为无限个正弦和余弦函数的代数和，即f(t)在(t0,t0+T)区间的三角傅里叶级数展开。f(t)应满足狄利克雷条件。3.3信号表示为傅里叶级数1021210)sincos(2sin2sinsincos2coscos2)(nnnnntnbtnaatnbtbtbtnatataatf直流分量基波分量n=1谐波分量n1《信号与线性系统》第3章信号分析tdtntfTaTttncos)(200tdtntfTbTttnsin)(200dttfTaTtt)(12000直流分量余弦分量系数正弦分量系数《信号与线性系统》第3章信号分析根据三角函数的运算法则,上式还可以写成。10cos2)(nnntnAatf22nnnbaAnnnabarctannnnnnnAbAasincos《信号与线性系统》第3章信号分析说明实用中进行信号分析时，不可能无限多次谐波，而只能取有限项来近似，这不可避免地要有误差n愈大，即所取级数项数愈多，方均误差愈小。方均误差趋于零。)(sincos2)(10ttkbtkaatfnnknnn《信号与线性系统》第3章信号分析例3-1将下列方波信号展开成三角级数1-1)(tftTT/2《信号与线性系统》第3章信号分析解：要把函数展开成三角级数，只要求得分量系数a和b。为偶数为奇数nnntdtntdtnTtdtntfTbtdtntdtnTtdtntfTadtdtTdttfTaTTTTnTTTTnTTTT04sinsin2sin)(20coscos2cos)(202)(22200220022000《信号与线性系统》第3章信号分析因此，该非周期信号在区间（0，T）内可以表示为ttttf5sin513sin31sin4)(红----一项近似，绿-----两项近似，水红----三项近似《信号与线性系统》第3章信号分析2.复指数傅里叶级数指数函数具有如下关系因此，指数函数，为一完备的正交函数集TtttjntjmTtttjntjnnmdteeTdtee00000**tjne,2,1,0n《信号与线性系统》第3章信号分析任意函数，可在区间（t0,t0+T）内用此函数表示为上式称为复指数形式的傅里叶级数。它是可以从三角傅里叶级数直接导出的。)(tfntjnnectf)(TtttjnndtetfTc00)(1《信号与线性系统》第3章信号分析根据欧拉公式且考虑到An是n或频率的偶函数，而是奇函数因此由于其数学表示更为简洁,故在后续章节中,这一式子用得更多。jjee21cosnntjnnntnjnntnjntnjneAeAeAeAatfnnn2121212)(10TtttjnndtetfTA00)(2《信号与线性系统》第3章信号分析下面以周期性矩形脉冲为例,说明周期信号频谱的特点。设有一幅度为A,脉冲宽度为τ的周期性矩形脉冲,其周期为T,如图所示，试求其傅里叶系数3.4周期信号的频谱－T202T2T1……tf(t)A《信号与线性系统》第3章信号分析TnTnTAdtAeTdtetfTAtjnTTtjnnsin22)(22222令上式中的n=0，求其极限得直流分量TAa20周期矩形脉冲的指数傅立叶级数（Ω=2π/T）tjnnennTAtf22sin)(《信号与线性系统》第3章信号分析画出了T=5τ、A=1的周期性矩形脉冲的频谱。2461《信号与线性系统》第3章信号分析周期信号频谱具有以下几个特点：第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率Ω的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量，而决不含有非Ω的谐波分量。第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐减小。当nΩ→∞时，|An|→0。《信号与线性系统》第3章信号分析1.频谱与周期的关系T=10τT=20τ11246246《信号与线性系统》第3章信号分析2.频带宽度与脉宽的关系1fHzTT1ττ15.02244051015202500.020.040.060.080.10.120.140.160.180.205101520253035404500.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1《信号与线性系统》第3章信号分析3.频带宽度周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内，因而，常常将ω=0~这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度。记为2)/(2sradB)(1HzBf或《信号与线性系统》第3章信号分析周期方波信号的频谱（幅度谱）15131na奇次谐波1-1)(tftTT/2《信号与线性系统》第3章信号分析非周期信号周期足够长的周期信号来处理。因此,我们可以从周期信号的频谱分析来推测非周期信号的频谱。当周期T无限趋大时，3.5傅里叶变换与非周期信号的频谱dTnd22,,dejFdedtetfedtetfTtftjtjtjtjnTTtjnn)(21)(21)(221)(22《信号与线性系统》第3章信号分析傅里叶变换对dtetfjFtj)()(dejFtftj)(21)(正变换：反变换：)()(tfFF)()(FtfF)()(1FFtf记作：记作：《信号与线性系统》第3章信号分析频谱密度函数)(|)(|)(jeFF|)(|F)(幅频特性相频特性《信号与线性系统》第3章信号分析从物理意义上理解傅里叶变换：是一个密度函数的概念是一个连续谱包含了从零到无限高频的所有频率分量各频率分量的频率不成谐波关系)(F)(F)(F《信号与线性系统》第3章信号分析傅立叶变换存在的充分条件dttf)(用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅立叶变换绝对可积《信号与线性系统》第3章信号分析例3―2求冲激信号δ(t)的频谱。解:由频谱函数的定义式有()()1()1jtFtedtt3.6常用信号的傅里叶变换《信号与线性系统》第3章信号分析冲激信号及其频谱《信号与线性系统》第3章信号分析例3―3求矩形脉冲信号的频谱。矩形脉冲信号及其频谱)(tg22)(F《信号与线性系统》第3章信号分析解：矩形脉冲信号是一个门函数。其定义为gτ(t)的傅里叶变换为2021)(tttg2)(sin2/2/sin)(22SatgFxxxSadtetgFtj《信号与线性系统》第3章信号分析例3―4求单边指数信号的频谱。解:单边指数信号是指0,1)()(0),()(0jdeedetfFtetftjttjt《信号与线性系统》第3章信号分析单边指数信号及其频谱0－0－(a)(b)argF())(F121244－2－)(tft《信号与