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我对《高中数学》的一些认识2016年于呼和浩特133634854331集合、简易逻辑1.1空集是任何非空集合的真子集，所以在解决集合类问题时一定要考虑空集的特殊意义。如不等式不成立、分母为零，真数为零或者小于零等情况求出x的范围为该集合是其他集合的真子集时的x的取值。例1：已知集合A={（x,y）｜ =a+1},集合B={（x,y）｜（a2−1）x+(a−1)y=30},若A∩B=∅.求a的取值。A集合中应该注意a=−1，B中应该注意a=1的情况，再根据两条直线无交点即平行，求出a的取值为−1,1，−5， .例2：已知集合A={x｜10+3x−x2≥0}，B={x｜m+1≤x≤2m−1}若∅A∩B=，求m的范围。答案：m＜2或m＞4，要注意B为空集即2m−1＜m+1.1.2判定充要条件大范围是小范围的的必要不充分条件，小范围是大范围的充分不必要条件。方法有：①定义法；②集合法；③构造逆否命题1.3否命题——既否定假设，又否定结论；命题的否定——只否定结论。1.4互为逆否命题的两个命题同真假，可以用来解决一些问题。例如，由p推出q，那么┐q推出┐p。1.5子集个数问题对于一个有n个元素的集合来说，其真子集为2n.1.6要特别注意集合中的元素例：A={y｜y=x2+1}，B={y｜y=2x2−1}，求A∩B=[1，+∞）不可以{y=x²+1y=2x²−1，这样是错的，把数“y”误认为“（x，y）”把函数的值误认为曲线。2函数、导数2.1映射从集合A到集合B的映射有①A中每一个元素必须有唯一的象；②对于A中的不同元素在B中可以有相同象；③允许B中的元素没有原象。2.2函数的图象①指数函数f（x）=ax即底数a1＞a2＞a3＞a4②对数函数即底数a1＞a2＞a3＞a4③对号函数f（x）=x+ ，（a＞0）在定义域内为奇函数，值域为（−∞，−2√a]∪[2√a，+∞）2.3定义域定义域是自变量自身的取值范围注意：f（x）中的x变成x的其他形式时，若原来的x∈[a，b]，则x的其他形式∈[a，b]，进而得到新的定义域。如例题1例1.已知函数f（x）=2+log3x，（1＜x≤9）求函数g（x）=[f（x）]2+f（x2）的值域.f（x2）怎么办呢？根据注意里的内容，则1＜x2≤9，得出1＜x＜3.2.4值域①配方法②换元法如：f（x）=x+√1−2x，可令√1−2x=t，换元后一定要注意新元的范围③反函数法求出反函数的定义域④判别式法如y= ，因为分母的Δ＜0，yx2−yx+y=x+x+1；（1−y）x2+（1+y）x+1−y=0，因为有解Δ=（1+y）2−4（1−y）（1−y）≥0，解得 ≤y≤3运用此方法还可以解决如：f（x）=log3 的值域为[0,2]求m、n的值有题目可知y=g（x）= 的值域为[1,9]，化简得（y−m）x2−8x+y−n=0因为x∈R，（1）假设y−m≠0，由（y−m）x2−8x+y−n=0得Δ=（−8）2−4（y−m）（y−n）≥0；y2−（m+n）y+（mn−16）≤0；∵y∈[1,9]，m+n=1+9mn−16=1×9，∴m=n=5。（2）当y−m=0时，y=m=5符合条件，所以m=n=5⑤不等式法如： + =1，x，y＞0求x+y的最小值x+y=（ + ）（x+y）=10+ + ≥10+2 × =16根据（√x− y）2≥0⑥函数的单调性f（x）=x+ ⑦函数的有界性f（x）=sin2x+1⑧数形结合f（x）=｜x−1｜+｜x+2｜，f（x）= (x−2) +4+ (x−3) +36可以联想到（x，0）到（2,2）（3,6）的距离f（x）= 斜率⑨导数高次函数用到⑩x=a+b，y=a−b这是一种二元代换例如：实数x，y满足4x2−5xy+4y2=5设S=x2+y2求 + =相当于求S的值域令x=a+b，y=a−b带人4x2−5xy+4y2=5b2= − a2因为b2≥0则0≤a2≤ S=x2+y2= a2+ 0≤a2≤ 可知S最大值10/3最小值10/132.5奇偶性①定义域是否关于原点对称，不对称则无奇偶性②f（x）=−f（−x）或者f（x）+f（−x）−0或者 （ ） （ ）=−1奇函数反之为偶函数③如果奇函数存在反函数，则反函数也是奇函数④奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数⑤奇函数在对称区间的单调性相同，偶函数在对称区间的单调性相反⑥公共定义域上的两个奇（偶）函数的和为奇（偶）函数奇×奇=偶奇×偶=奇利用奇偶函数来解题：（1）已知函数f（x）=ax3+bsinx+1（ab≠0）且满足f（5）=7那么f（−5）=？答案−5∵g（x）=ax3+bsinx是奇函数，则g（5）=−g（−5）（2）已知f（x）=1+ 的最大值为M，最小值为m，则M+m=？答案2因为g（x）= 是奇函数，最大值和最小值的和为0⑦若g（x）为奇函数，且g（x）=f（x+1）则g（x）=−g（−x）=−f（−x+1）若g（x）为偶函数，且g（x）=f（x+1）则g（x）=g（−x）=f（−x+1）例题：f（x）是定义在R上的偶函数，且g（x）是奇函数，已知g（x）=f（x−1），若g（−1）=2007则f（2008）=？（遇见这种特别大的x时，肯定循环，要找周期）解：g（x）=−g（−x）=−f（−x−1）=−f（x+1），又g（x）=f（x−1）−f（−x−1）=f（x−1）周期T=4f（0）=g（1）=−2007所以f（2008）=f（0）=−20072.6周期性T是最小正周期①f（x）=f（x+a）T=｜a｜②f（x）=f（x+2a）f（x）=−f（x+a）f（x+a）= （ ）f（x+a）=− （ ）等T=｜2a｜2.7对称性对于f（x）定义域的任意x都有y=f（x−1）与y=f（1−x）关于x=1对称如果f（x）=f（2a−x）f（x+a）=f（a−x）关于x=a对称如果f（x）=−f（2a−x）f（x+a）=−f（a−x）关于（a，0）对称2.8单调性①定义法证明单调性步骤（1）在定义域上任取x1，x2，且x1＞x2（2）f（x1）−f（x2）与0比较注意，在证明过程中应注意运用x1=x1+x2−x2x1= x2的变形②利用导函数证明③利用做商例如：Tn= （ ） ，若对于一切n∈N*，都有Tn≤m，求m的取值范围就是求Tn的最大值解： = 与1比较当n=1时， ＞1，说明还在增加当n=2时， =1，说明不再增加当n≥3时， ＜1，说明在减小所以T2=T3，最大④若函数在给定区间上单调，则可以用带入特殊值判断来求函数中的未知数范围如f（x）=（ax−2x）e−x（a≤0）若在[−1,1]上单调性相同，求a的取值范围解：f′（x）=−[ax2−（2a+2）x+2]e−x因为f′（0）=−2＜0则可以判定f（x）在[−1,1]上单调递减，则有g（x）=ax2−（2a+2）x+2在[−1,1]上恒大于0讨论：当a=0时，g（x）=−2x+2≥0在[−1,1]成立当a＜0时，抛物线开口向下，则需要g（−1）≥0g（1）≥0所以− ≤a＜0综上a∈[− ，0]2.9反函数①写出反函数后要证明定义域②f（x）与f−1（x）定义域、值域互换③f（x）与f−1（x）的单调性相同④若f（x）与f−1（x）都是增函数，且有交点，则交点一定在y=x上，减函数则不一定因为有重合的例如y=−x2.10抽象函数①对于抽象函数如果遇到下列情况，应联想到f（x±y）=f（x）±f（y）一次函数f（ ）=f（x）−f（y）f（xy）=f（x）+f（y）对数函数f（x−y）= （ ） （ ）f（x+y）=f（x）·f（y）指数函数f（x+y）+f（x−y）=2f（x）f（y）余弦函数f（x+y）f（x−y）=f2（x）−f2（y）正弦函数抽象函数中要灵活运用x=x−y+y2x=x+y+x−yx=y· 2.11函数的求法①课本上的待定系数法②根据对称性如：已知函数关于x=0对称，且[a，b]上的解析式，求[−b，−a]上的解析式即x，y的变换③对于f（g[x]）求f（x）用换元法，如如f（1−cosx）=sin2x，可以设1−cosx=t再用t表示sin2x再把t还原④抽象函数如2f（ ）+f（x）=x（x≠0）求f（x）可以用2f（ ）+f（x）=x2f（x）+f（ ）= 解方程求得f（x）2.12由二次函数可以想到的应用①f（x）=ax2+bx+c的性质②二次方程ax2+bx+c=0想到即f（x）与x轴的交点Δ③不等式④构造新的函数证明f（x）＜0恒成立问题时，若f（x）中含有多个未知数，应把知道定义域范围的未知数当做研究对象，把f（x）看做此未知数的函数。例题：f（x）=ax2+2bx+c+ac=−a−2b ∈[0,1）a＜0x≥k时f（x）+a＜0试求k的最小值解g（x）=f（x）+a=ax2+2bx−2b＜0同除以a则x2+2 x−2 ＞0就变成了h（ ）=（2x−2） +x2的一次函数则g（0）=x2＞0g（1）=2x−2+x2≥0解不等式组得x≥√3−1或x≤−√3−1∴k≥√3−1答案√3−1⑤（不）等式中有二次和一次函数时，完全可以根据需要写成f（x）＞＜＝g（x）的形式，f（x）是特殊的二次函数，g（x）是一次函数，根据函数图像的性质，用图像上的交点作为基础进行进一步的计算。2.13数形结合①斜率y= ②点到点的距离y=｜x−1｜+｜x+1｜③不等式中一个函数曲线在另一个函数曲线的上、下④分析函数的性质单调性、对称性、周期性……21.4分离参数已知量即已知范围的量（1）把已知量放到一边，把未知量放到另一边；（2）把已知量作为自变量。例题：f（x）= −alnx若f′（x）是f（x）的导函数，且x∈[ ，2]时，｜f′（x）｜＜1恒成立，求a的范围解：f′（x）=− − ∵｜− ｜＜1∴—1＜− ＜1分离参数a＜x− a小于x− 的最小值a＞−x− a大于−x− 的最大值答案：－2＜a＜－ 2.15导函数①明确基本函数的导函数的求法②定义：f′（x0）=limΔx→0 ( ) （ ） =limΔx→0 ( ) （ ） 例题：已知f（x）为可导函数，limx→0 ( ) （ ） =－2则f′（x）=？解：limx→0 ( ) （ ） =－2得出－ limx→0 ( ) ( ) =－2f′（1）=limx→0 ( ) ( ) =4③可导必定连续，连续不一定可导④用来解决不等式的最值、极值2.16极限①注意分子有理化例题：limx→−∞ x2+x+x =？解：limx→−∞ x2+x+x 分子分母同时除以－x，原式=limx→−∞ =－ ②分式的极限分子最高次小于分母最高次则极限为0，例limx→∞ =0x→∞分子最高次=分母最高次则极限为最高次系数比分子最高次＞分母最高次则无※注意： 型应该约去〇因式例1：limx→−2 =limx→−2 ( )（ ）( )（ ）=limx→−2 ( )（ ）=－ 例2：已知limx→−2 =n求m、n的值解：分母有0因式，且极限有意义，则分子必有0因式设：（x+2）（x+a）=x2+mx+2∴a=1，m=3，n=－12.17高考中的应用①函数内容本身的综合、函数概念、图像、最值方面的综合；②函数与其他知识的综合，如：方程、不等式、数列、解析几何与函数相结合；③许多函数的问题最终归结为二次函数的问题。3数列3.1通项公式的求法①等差等比数列按公式求②有Sn则an=