高考数学复习专题一集合与逻辑

专题一：集合与逻辑一、集合的基本概念及表示方法1、集合的概念：2、一般的，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合，简称集.通常用大写英文字母A、B、C、····表示。集合中的每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母a、b、c、3、集合中元素的三个特征（1）确定性；设A使一个给定的集合，a是某一具体的对象，则a是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.（2）互异性；集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.即集合中的元素不重复，两个或两个以上的相同的元素都认为是一个元素，在用列举法表示时也只能写一个.例如方程x2+2x+1=0的解组成的集合A，必须写成A={-1}.（3）、无序性；集合中的元素不考虑顺序，对于元素相同而排列顺序不同的集合认为是相同的集合.例如集合{1，2，3，4}与集合{4，3，2，1}是相同的集合.4、集合的分类集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集.5、集合的表示方法（1）列举法把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法.使用列举法时应注意一下几点：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④对于含较多元素的集合如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚后才能用省略号.如：由方程x2-1=0的所有解组成的集合可以表示为{-1，1}.（2）描述法用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在花括号内表示集合的方法，即{x∈A│p(x)}.对于描述法，不能只把注意力放在竖号“│”右边“p”适合的条件，还要对竖号“│”左边的形式引起足够的重视.如：所有的直角三角形的集合可以表示为{x│x是直角三角形}.（3）图示法为了形象的表示集合，我们常常画一条封闭的曲线，1，3，5，8用它的内部来表示一个集合.如图所示，表示集合{1，3，5，8}.5、空集不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.注意：（1）空集中没有任何元素，要区分φ和{0}，集合{0}中有1个元素0，而φ中没有任何元素，两者有着本质的不同.（2）空集在实际问题中是实实在在存在的，如在实数范围内方程x2+1=0的解集和不等式x2+10的解集都是空集.6、常用数集的符号为了书写方便对于常用数集用特定的字母表示：（1）全体非负整数组成的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N；（2）非负整数集内排除0的集合，称为正整数集，表示成N*（或N+）；（3）全体整数组成的集合通常简称为整数集，记作Z；（4）全体有理数组成的集合通常简称为有理数集，记作Q；（5）全体实数组成的集合通常简称为实数集，记作R；二、集合间的关系1、包含关系如果任意x∈A，=＞x∈B,则集合A是集合B的子集，记作ABBA.显然，任何集合是他自身的子集，即AA，空集是任何集合的子集，即φA.2、相等关系对于两个集合A、B，如果AB同时BA，那么成集合A和集合B相等，记作A=B.显然，两个相等的集合的元素完全相同.3、真包含关系对于两个集合A和B，如果AB，并且A≠b,称集合A是集合B的真子集，记作AB,显然，空集是任何非空集合的真子集，若AB，则B中至少存在一个元素不属于A.三、集合与集合间的运算1、交集；一般的对于两个给定的集合A、B，由属于集合A且属于集合B的所有元素构成的集合，叫做A和B的交集，记作A∩B.2、并集；一般的对于两个给定的集合A、B，由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B.3、全集与补集；含有所要研究的各集合的全部元素的集合称为全集，一般可记作U，全集是相对的.若A是全集U的子集，则由全集中不属于A的元素组成的集合称为A的补集，记作CUA.专题二：命题一、四种命题及其关系1、命题的定义可以判断真假的语句叫做命题。如：125，3是12的约数都是命题.说明：（1）并不是任何语句都是命题.一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.（2）一个命题一般可以用小写英文字母表示，如p、q、r、····.2、四种命题在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，这两个命题叫互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题。一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题.3、表示形式若p为原命题条件，q为原命题结论则：原命题：若p则q逆命题：若p则q否命题：若p则q逆否命题：若q则p4、四种命题的关系（1）关系图：原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ（2）真假值具有的关系：①原命题为真，它的逆命题不一定为真；②原命题为真，它的否命题不一定为真；③原命题为真，它的逆否命题一定为真；④逆命题为真，否命题一定为真.二、充分条件、必要条件、充要条件定义若pq，则p是q的充分条件若qp，则p是q的必要条件若pq且q≠p则p是q的充分不必要条件若qp且p≠q则p是q的必要不充分条件若qp，则p是q的充分必要条件若p≠q且q≠p则p是q的非充分非必要条件三、逻辑联结词：“或”“且”“非”1.或：两个简单命题至少有一个成立.2.且：两个简单命题都成立.3.非：对一个命题的否定.四、简单命题与复合命题1、定义：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题。2、表达形式；简单命题常用小写英文字母p、q、r等表示；复合命题有三类：①p或q；②p且q；③非p.3、真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假五、量词（1）全称量词短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.（2）全称命题含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题就是形如“对M中所有x，p(x)”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x).（3）存在量词短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.（4）特称命题含有存在量词的命题叫做特称命题，用符号简记为∃x∈M,p(x).