2009年高考试题——数学理（全国1）解析版

09年全国卷Ⅰ理科数学试题全析全解（一）2009年普通高等学校招生全国统一考试高.考.资.源.网理科数学（必修+选修Ⅱ）高.考.资.源.网高.考.资.源.网本试卷分第错误!未找到引用源。卷（选择题）和第错误!未找到引用源。卷（非选择题）两部分．第错误!未找到引用源。卷1至2页，第错误!未找到引用源。卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．高.考.资.源.网第Ⅰ卷高.考.资.源.网考生注意：高.考.资.源.网1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．高.考.资.源.网2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．高.考.资.源.网3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．高.考.资.源.网高.考.资.源.网参考公式：高.考.资.源.网如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式高.考.资.源.网()()()PABPAPB24πSR高.考.资.源.网如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径高.考.资.源.网()()()PABPAPB球的体积公式高.考.资.源.网如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么34π3VR高.考.资.源.网n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径高.考.资.一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合()uABI中的元素共有（A）（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：{3,4,5,7,8,9}AB，{4,7,9}(){3,5,8}UABCAB故选A。也可用摩根律：()()()UUUCABCACB（2）已知1iZ＋=2+i,则复数z=（B）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（A）-1+3i(B)1-3i(C)3+i(D)3-i解：(1)(2)13,13ziiizi故选B。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(3)不等式11XX＜1的解集为（D）（A）｛x011xxx(B)01xx（C）10xx(D)0xxw.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：验x=-1即可。(4)设双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于(C)（A）3（B）2（C）5（D）6w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：设切点00(,)Pxy，则切线的斜率为0'0|2xxyx.由题意有0002yxx又2001yx解得:2201,2,1()5bbxeaa.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(5)甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(D)（A）150种（B）180种（C）300种(D)345种w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解:分两类(1)甲组中选出一名女生有112536225CCC种选法;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)乙组中选出一名女生有211562120CCC种选法.故共有345种选法.选D（6）设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则acbc的最小值为(D)（A）2（B）22（C）1(D)12解:,,abc是单位向量2()acbcababccw.w.w.k.s.5.u.c.o.m|||12cos,121|abcabc故选D.BCBCA111AD（7）已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与1CC所成的角的余弦值为（D）（A）34（B）54（C）74(D)34w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：设BC的中点为D，连结1AD，AD，易知1AAB即为异面直线AB与1CC所成的角,由三角余弦定理，易知113cocs4oscosADADAADDABAAAB.故选Dw.w.w.k.s.5.u.c.o.m（8）如果函数cos2yx＝3＋的图像关于点43，0中心对称，那么||的最小值为（A）（A）6（B）4（C）3(D)2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解:函数cos2yx＝3＋的图像关于点43，0中心对称w.w.w.k.s.5.u.c.o.m4232k13()6kkZ由此易得min||6.故选A(9)已知直线y=x+1与曲线yln()xa相切，则α的值为(B)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(A)1(B)2(C)-1(D)-2解:设切点00(,)Pxy，则0000ln1,()yxayx,又0'01|1xxyxa00010,12xayxa.故答案选Bw.w.w.k.s.5.u.c.o.m（10）已知二面角α-l-β为60o，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为3，Q到α的距离为23，则P、Q两点之间距离的最小值为（C）(A)(B)2(C)23(D)4w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解:如图分别作,,,QAAAClCPBB于于于PDlD于，连,60,CQBDACQPBD则23,3AQBP，2ACPD又2221223PQAQAPAP当且仅当0AP，即AP点与点重合时取最小值。故答案选C。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（11）函数()fx的定义域为R，若(1)fx与(1)fx都是奇函数，则(D)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(A)()fx是偶函数(B)()fx是奇函数(C)()(2)fxfx(D)(3)fx是奇函数解:(1)fx与(1)fx都是奇函数，(1)(1),(1)(1)fxfxfxfx，函数()fx关于点(1,0)，及点(1,0)对称，函数()fx是周期2[1(1)]4T的周期函数.(14)(14)fxfx，(3)(3)fxfx，即(3)fx是奇函数。故选D12.已知椭圆22:12xCy的右焦点为F,右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，若3FAFB,则||AF=(A).2(B).2(C).3(D).3w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解:过点B作BMl于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意3FAFB,故2||3BM.又由椭圆的第二定义,得222||233BF||2AF.故选Aw.w.w.k.s.5.u.c.o.m第II卷二、填空题：13.10xy的展开式中，73xy的系数与37xy的系数之和等于。解:373101010()2240CCCw.w.w.k.s.5.u.c.o.m14.设等差数列na的前n项和为nS，若972S,则249aaa=。解:na是等差数列,由972S,得599,Sa58a2492945645()()324aaaaaaaaaa.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m15.直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA,120BAC，则此球的表面积等于。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解:在ABC中2ABAC,120BAC,可得23BC,由正弦定理,可得ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，易得球半径5R，故此球的表面积为2420R.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m16.若42x，则函数3tan2tanyxx的最大值为。解:令tan,xt142xt,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m4432224222tan2222tan2tan81111111tan1()244xtyxxxttttw.w.w.k.s.5.u.c.o.m三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．）在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,ACAC求bw.w.w.k.s.5.u.c.o.m分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222acb左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)sincos3cossin,ACAC过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在ABC中sincos3cossin,ACAC则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22abcbcaacabbc化简并整理得：2222()acb.又由已知222acb24bb.解得40(bb或舍）.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解法二:由余弦定理得:2222cosacbbcA.又222acb,0b。所以2cos2bcA…………………………………①又sincos3cossinACAC，sincoscossin4cossinACACACsin()4cossinACAC，即sin4cossinBAC由正弦定理得sinsinbBCc，故4cosbcA………………………②由①，②解得4b。评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，2AD2DCSD，点M在侧棱SC上，ABM=60°（I）证明：M在侧棱SC的中点（II）求二面角SAMB的大小。（I）解法一：作MN∥SD交CD于N，作NEAB交AB于E，连ME、NB，则MN面ABCD，MEAB,2NEAD设MNx，则NCEBx,在RTMEB中，60MBE3MEx。在RTMNE中由222MENEMN2232xx解得1x，从而12MNSDM为侧棱SC的中点M.解法二:过M作CD的平行线.解法三:利用向量处理.详细可见09年高考参考答案.（II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。过M作MJ∥CD交SD于J,作SHAJ交AJ于H,作HKAM交AM于K,则JM∥CD,JM面SAD,面SAD面MBA,SH面AMBSKH即为所求二面角的补角.分析二：利用二面角的定义。在等边三角形ABM中过点B作BFAM交AM于点F，则点F为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证GFAM，则GFB即为所求二面角.分析三：利用空间向量求。在两个半平面内分别与交线AM垂直的两个向量的夹角即可。另外：利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等，这些方法也能奏效。总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．甲、乙二人进行一次围棋比赛