2009年高考试题——数学理（全国2）解析版

2009年全国卷Ⅱ理科数学试题解析一选择题：1.10i2-iA.-2+4iB.-2-4iC.2+4iD.2-4i解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i.故选A.2.设集合1|3,|04xAxxBxx，则AB=A.B.3,4C.2,1D.4.解：1|0|(1)(4)0|144xBxxxxxxx.(3,4)AB.故选B.3.已知ABC中，12cot5A，则cosAA.1213B.513C.513D.1213解：已知ABC中，12cot5A，(,)2A.221112cos1351tan1()12AA故选D.4.曲线21xyx在点1,1处的切线方程为w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.20xyB.20xyC.450xyD.450xy解：111222121||[]|1(21)(21)xxxxxyxx,故切线方程为1(1)yx,即20xy故选B.5.已知正四棱柱1111ABCDABCD中，12AAAB，E为1AA中点，则异面直线BE与1CD所成的角的余弦值为A.1010B.15C.31010D.35解：令1AB则12AA,连1AB1CD∥1AB异面直线BE与1CD所成的角即1AB与BE所成的角。在1ABE中由余弦定理易得1310cos10ABE。故选C6.已知向量2,1,10,||52aabab，则||bw.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.5B.10C.5D.25解：222250||||2||520||abaabbb||5b。故选C7.设323log,log3,log2abc，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.abcB.acbC.bacD.bca解：322log2log2log3bc2233log3log2log3logababc.故选A.8.若将函数tan04yx的图像向右平移6个单位长度后，与函数tan6yx的图像重合，则的最小值为A．16B.14C.13D.12解：6tantan[(]ta)6446nyxyxx向右平移个单位164()662kkkZ，又min102.故选D9.已知直线20ykxk与抛物线2:8Cyx相交于AB、两点，F为C的焦点，若||2||FAFB，则kA.13B.23C.23D.223解：设抛物线2:8Cyx的准线为:2lx直线20ykxk恒过定点P2,0.如图过AB、分别作AMl于M,BNl于N,由||2||FAFB,则||2||AMBN,点B为AP的中点.连结OB,则1||||2OBAF,||||OBBF点B的横坐标为1,故点B的坐标为22022(1,22)1(2)3k,故选D10.甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有A.6种B.12种C.30种D.36种解：用间接法即可.22244430CCC种.故选C11.已知双曲线222210,0xyCabab：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于AB、两点，若4AFFB,则C的离心率为w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．65B.75C.58D.95解：设双曲线22221xyCab：的右准线为l,过AB、分别作AMl于M,BNl于N,BDAMD于,由直线AB的斜率为3,知直线AB的倾斜角为16060,||||2BADADAB,由双曲线的第二定义有1||||||(||||)AMBNADAFFBe11||(||||)22ABAFFB.又15643||||25AFFBFBFBee故选A12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是A.南B.北C.西D.下解：展、折问题。易判断选B第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。13.4xyyx的展开式中33xy的系数为6。解：4224()xyyxxyxy，只需求4()xy展开式中的含xy项的系数：246Cw.w.w.k.s.5.u.c.o.m14.设等差数列na的前n项和为nS，若535aa则95SS9.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：na为等差数列，9553995SaSa15.设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于74，则球O的表面积等于8.解：设球半径为R，圆C的半径为r，2277.444rr,得由因为22224ROCR。由2222217()484RRrR得22R.故球O的表面积等于8.16.已知ACBD、为圆O:224xy的两条相互垂直的弦，垂足为1,2M,则四边形ABCD的面积的最大值为。解：设圆心O到ACBD、的距离分别为12dd、,则222123ddOM+.四边形ABCD的面积222212121||||2(4)8()52SABCDdddd)(4-三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，3cos()cos2ACB，2bac，求B。分析：由3cos()cos2ACB，易想到先将()BAC代入3cos()cos2ACB得3cos()cos()2ACAC。然后利用两角和与差的余弦公式展开得3sinsin4AC；又由2bac，利用正弦定理进行边角互化，得2sinsinsinBAC，进而得3sin2B.故233B或。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当23B时，由1coscos()2BAC，进而得3cos()cos()212ACAC，矛盾，应舍去。也可利用若2bac则babc或从而舍去23B。不过这种方法学生不易想到。评析：本小题考生得分易，但得满分难。18（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABCABC中，,ABACD、E分别为1AA、1BC的中点，DE平面1BCCw.w.w.k.s.5.u.c.o.m（I）证明：ABAC（II）设二面角ABDC为60°，求1BC与平面BCD所成的角的大小。（I）分析一：连结BE，111ABCABC为直三棱柱，190,BBCE为1BC的中点，BEEC。又DE平面1BCC，BDDC（射影相等的两条斜线段相等）而DA平面ABC，ABAC（相等的斜线段的射影相等）。分析二：取BC的中点F，证四边形AFED为平行四边形，进而证AF∥DE，AFBC，得ABAC也可。分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。（II）分析一：求1BC与平面BCD所成的线面角，只需求点1B到面BDC的距离即可。作AGBD于G，连GC，则GCBD，AGC为二面角ABDC的平面角，60AGC.不妨设23AC，则2,4AGGC.在RTABD中，由ADABBDAG，易得6AD.设点1B到面BDC的距离为h，1BC与平面BCD所成的角为。利用11133BBCBCDSDESh，可求得h23，又可求得143BC11sin30.2hBC即1BC与平面BCD所成的角为30.分析二：作出1BC与平面BCD所成的角再行求解。如图可证得BCAFED面，所以面AFEDBDC面。由分析一易知：四边形AFED为正方形，连AEDF、，并设交点为O，则EOBDC面，OC为EC在面BDC内的射影。ECO即为所求。以下略。分析三：利用空间向量的方法求出面BDC的法向量n，则1BC与平面BCD所成的角即为1BC与法向量n的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。19（本小题满分12分）设数列{}na的前n项和为,nS已知11,a142nnSa（I）设12nnnbaa，证明数列{}nb是等比数列（II）求数列{}na的通项公式。解：（I）由11,a及142nnSa，有12142,aaa21121325,23aabaa由142nnSa，．．．①则当2n时，有142nnSa．．．．．②②－①得111144,22(2)nnnnnnnaaaaaaa又12nnnbaa，12nnbb{}nb是首项13b，公比为２的等比数列．（II）由（I）可得11232nnnnbaa，113224nnnnaa数列{}2nna是首项为12，公差为34的等比数列．1331(1)22444nnann，2(31)2nnan评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找1nnbb与的关系即可．第（II）问中由（I）易得11232nnnaa，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：1(,nnnapaqpq为常数)，主要的处理手段是两边除以1nq．总体来说，09年高考理科数学全国I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。20（本小题满分12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（III）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m分析：（I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。（II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率1146210815CCPC（III）的可能取值为0，1，2，31234211056(0)75CCPCC，1112146342212110510528(1)75CCCCCPCCCC，21622110510(3)75CCPCC，31(2)1(0)(1)(3)75PPPP分布列及期望略。评析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。在计算(2)P时，采用分类的方法，用直接法也可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力。（21）（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为33，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为22w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（I）求a，b的值；（II）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OPOAOB成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。解:(I）设(,0