2009年高考试题——数学理（天津卷）解析版

2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工农医类）参考公式：。如果事件A，B互相排斥，那么P（AUB）=P（A）+P(B)。。棱柱的体积公式V=sh。其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（1）i是虚数单位，52ii=（A）1+2i（B）-1-2i（C）1-2i（D）-1+2i【考点定位】本小考查复数的运算，基础题。解析：iiiii215)2(525，故选择D。（2）设变量x，y满足约束条件：3123xyxyxy.则目标函数z=2x+3y的最小值为（A）6（B）7（C）8（D）23【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。解析：画出不等式3123xyxyxy表示的可行域，如右图，让目标函数表示直线332zxy在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组323yxyx得)1,2(，所以734minz，故选择B。（3）命题“存在0xR，02x0”的否定是（A）不存在0xR,02x0（B）存在0xR,02x0（C）对任意的xR,2x0（D）对任意的xR,2x0【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。解析：由题否定即“不存在Rx0，使020x”，故选择D。（4）设函数1()ln(0),3fxxxx则()yfxA在区间1(,1),(1,)ee内均有零点。B在区间1(,1),(1,)ee内均无零点。8642-2-4-15-10-5510152x-y=3x-y=1x+y=3qx=-2x3+7hx=2x-3gx=x+1fx=-x+3ABC在区间1(,1)e内有零点，在区间(1,)e内无零点。D在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e内有零点。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。解析：由题得xxxxf33131)`(，令0)`(xf得3x；令0)`(xf得30x；0)`(xf得3x，故知函数)(xf在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(为增函数，在点3x处有极小值03ln1；又0131)1(,013,31)1(eefeeff，故选择D。（5）阅读右图的程序框图，则输出的S=A26B35C40D57【考点定位】本小考查框架图运算，基础题。解：当1i时，2,2ST；当2i时，7,5ST；当3i时，15,8ST；当4i时，26,11ST；当5i时，40,14ST；当6i时，57,17ST，故选择C。(6）设0,0.ab若11333abab是与的等比中项，则的最小值为A8B4C1D14【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。【解析】因为333ba，所以1ba，4222)11)((11baabbaabbababa，当且仅当baab即21ba时“=”成立，故选择C（7）已知函数()sin()(,0)4fxxxR的最小正周期为，为了得到函数()cosgxx的图象，只要将()yfx的图象w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA向左平移8个单位长度B向右平移8个单位长度w.w.w.k.s.5.u.c.o.mC向左平移4个单位长度D向右平移4个单位长度w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换，基础题。解析：由题知2，所以)8(2cos)42cos()]42(2cos[)42sin()(xxxxxf，故选择A。（8）已知函数0,40,4)(22xxxxxxxf若2(2)(),fafa则实数a的取值范围是A(,1)(2,)B(1,2)C(2,1)D(,2)(1,)【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。解析：由题知)(xf在R上是增函数，由题得aa22，解得12a，故选择C。（9）．设抛物线2y=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，BF=2，则BCF与ACF的面积之比BCFACFSS=（A）45（B）23（C）47（D）12w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系，和综合运算数学的能力，中档题。解析：由题知12122121ABABACFBCFxxxxACBCSS，又323221||BBByxxBF由A、B、M三点共线有BMBMAMAMxxyyxxyy即23330320AAxx，故2Ax，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴5414131212ABACFBCFxxSS，故选择A。（10）ab10,若关于x的不等式2()xb＞2()ax的解集中的整数恰有3个，则（A）01a（B）10a（C）31a（D）63a【考点定位】本小题考查解一元二次不等式，解析：由题得不等式2()xb＞2()ax即02)1(222bbxxa，它的解应在两根之间，故有04)1(4422222baabb，不等式的解集为11abxab或110abxab。若不等式的解集为11abxab，又由ab10得110ab，故213ab，即312ab二．填空题：（6小题，每题4分，共24分）642-2-4-6-10-5510x=-0.5F:(0.51,0.00)hx=-2x+3gy=-12fy=y22ABFC（11）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生。【考点定位】本小题考查分层抽样，基础题。解析：C专业的学生有4004203801200，由分层抽样原理，应抽取401200400120名。（12）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a_______【考点定位】本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题。解析：知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，底边上的高为a的等腰三角形，所以有333322aa。(13)设直线1l的参数方程为113xtyt（t为参数），直线2l的方程为y=3x+4则1l与2l的距离为_______w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，基础题。解析：由题直线1l的普通方程为023yx，故它与与2l的距离为510310|24|。(14)若圆224xy与圆22260xyay（a0）的公共弦的长为23，则a___________w.w.w.k.s.5.u.c.o.m。【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题。解析：由知22260xyay的半径为26a，由图可知222)3()1(6aa解之得1a(15)在四边形ABCD中，AB=DC=（1，1），113BABCBDBABCBD，则四边形ABCD的面积是【考点定位】本小题考查向量的几何运算，基础题。解析：由题知四边形ABCD是菱形，其边长为2，且对角线BD等于边长的3倍，所以21222622cosABD，故23sinABD，323)2(2SABCD。（16）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数字作答）【考点定位】本小题考查排列实际问题，基础题。解析：个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：901333143323CACAC种；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：23413332313143323CACCCAC种，所以共有32423490个。三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）在⊿ABC中，BC=5，AC=3，sinC=2sinAw.w.w.k.s.5.u.c.o.m(I)求AB的值：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(II)求sin24A的值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理，ABCCABsinsinw.w.w.k.s.5.u.c.o.m于是AB=522sinsinBCBCAC（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=5522222ACABBDACAB于是sinA=55cos12A从而sin2A=2sinAcosA=54,cos2A=cos2A-sin2A=53所以sin(2A-4)=sin2Acos4-cos2Asin4=102（18）（本小题满分12分）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。（Ⅰ）解：由于从10件产品中任取3件的结果为Ck3，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CCkk373，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)=CCCkk310373,k=0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是X0123P24740214071203X的数学期望EX=109120134072402112470（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而,403)(31023131CCCAPP(A2)=P(X=2)=407,P(A3)=P(X=3)=1201,所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=403+407+1201=12031（19）（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=12ADw.w.w.k.s.5.u.c.o.m(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12分.方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FE//AP，所以FA//EP，同理AB//PC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥