2009年高考试题——数学理（浙江卷）解析版

绝密★考试结束前2009年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页。满分150分，考试时间120分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。参考公式：如果事件,AB互斥，那么棱柱的体积公式()()()PABPAPBVSh如果事件,AB相互独立，那么其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高()()()PABPAPB棱锥的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么13VShn次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高()(1),(0,1,2,,)kknknnPkCppkn棱台的体积公式球的表面积公式)(312211SSSShV24SR其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积，球的体积公式h表示棱台的高334RV其中R表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设UR，{|0}Axx，{|1}Bxx，则UABð()A．{|01}xxB．{|01}xxC．{|0}xxD．{|1}xx答案：B【解析】对于1UCBxx，因此UABð{|01}xx．2．已知,ab是实数，则“0a且0b”是“0ab且0ab”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：C【解析】对于“0a且0b”可以推出“0ab且0ab”，反之也是成立的3．设1zi（i是虚数单位），则22zz()A．1iB．1iC．1iD．1i答案：D【解析】对于2222(1)1211ziiiizi4．在二项式251()xx的展开式中，含4x的项的系数是()w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．10B．10C．5D．5答案：B【解析】对于251031551()()1rrrrrrrTCxCxx，对于1034,2rr，则4x的项的系数是225(1)10C5．在三棱柱111ABCABC中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是侧面11BBCC的中心，则AD与平面11BBCC所成角的大小是()A．30B．45C．60D．90答案：C【解析】取BC的中点E，则AE面11BBCC，AEDE，因此AD与平面11BBCC所成角即为ADE，设ABa，则32AEa，2aDE，即有0tan3,60ADEADE．6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是()A．4B．5C．6D．7答案：A【解析】对于0,1,1ksk，而对于1,3,2ksk，则2,38,3ksk，后面是113,382,4ksk，不符合条件时输出的4k．7．设向量a，b满足：||3a，||4b，0ab．以a，b，ab的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为()w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．3B．4C．5D．6答案：C【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．8．已知a是实数，则函数()1sinfxaax的图象不可能．．．是()答案：D【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为2,1,2TaTa，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2．9．过双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,BC．若12ABBC，则双曲线的离心率是()w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．2B．3C．5D．10答案：C【解析】对于,0Aa，则直线方程为0xya，直线与两渐近线的交点为B，C，22,,(,)aabaabBCabababab，则有22222222(,),,ababababBCABabababab，因222,4,5ABBCabe．10．对于正实数，记M为满足下述条件的函数()fx构成的集合：12,xxR且21xx，有212121()()()()xxfxfxxx．下列结论中正确的是()A．若1()fxM，2()gxM，则12()()fxgxMB．若1()fxM，2()gxM，且()0gx，则12()()fxMgxC．若1()fxM，2()gxM，则12()()fxgxMw.w.w.k.s.5.u.c.o.mD．若1()fxM，2()gxM，且12，则12()()fxgxM答案：C【解析】对于212121()()()()xxfxfxxx，即有2121()()fxfxxx，令2121()()fxfxkxx，有k，不妨设1()fxM，2()gxM，即有11,fk22gk，因此有1212fgkk，因此有12()()fxgxM．非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．设等比数列{}na的公比12q，前n项和为nS，则44Sa．答案：15【解析】对于4431444134(1)1,,151(1)aqsqsaaqqaqq12．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是3cm．答案：18【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1339，上面的长方体体积为3319，因此其几何体的体积为1813．若实数,xy满足不等式组2,24,0,xyxyxy则23xy的最小值是．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m答案：4【解析】通过画出其线性规划，可知直线23yxZ过点2,0时，min234xy14．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦时）低谷月用电量（单位：千瓦时）低谷电价（单位：元/千瓦时）50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超过50至200的部分0.598超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元（用数字作答）．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m答案：148.4【解析】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为500.5681500.598；对于低峰部分为500.288500.318，二部分之和为148.415．观察下列等式：1535522CC，1597399922CCC，159131151313131322CCCC，1591317157171717171722CCCCC，………由以上等式推测到一个一般的结论：对于*nN，1594141414141nnnnnCCCC．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m答案：4121212nnn【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有1n，二项指数分别为41212,2nn，因此对于*nN，1594141414141nnnnnCCCC4121212nnn16．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．答案：336【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有37A种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有1237CA种，因此共有不同的站法种数是336种．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m17．如图，在长方形ABCD中，2AB，1BC，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点．现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC．在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足．设AKt，则t的取值范围是．答案：1,12【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，1t，随着F点到C点时，因,,CBABCBDKCB平面ADB，即有CBBD，对于2,1,3CDBCBD，又1,2ADAB，因此有ADBD，则有12t，因此t的取值范围是1,12w.w.w.k.s.5.u.c.o.m三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18．（本题满分14分）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足25cos25A，3ABAC．（I）求ABC的面积；（II）若6bc，求a的值．解析：（I）因为25cos25A，234cos2cos1,sin255AAA，又由3ABAC，得cos3,bcA5bc，1sin22ABCSbcAw.w.w.k.s.5.u.c.o.m（II）对于5bc，又6bc，5,1bc或1,5bc，由余弦定理得2222cos20abcbcA，25aw.w.w.k.s.5.u.c.o.m19．（本题满分14分）在1,2,3,,9这9个自然数中，任取3个数．（I）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；（II）设为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时的值是2）．求随机变量的分布列及其数学期望E．解析：（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则12453910()21CCPAC；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（II）随机变量的取值为0,1,2,的分布列为012P51212112所以的数学期望为5112012122123Ew.w.w.k.s.5.u.c.o.m20．（本题满分15分）如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，,,EFO分别为PA，PB，AC的中点，16AC，10PAPC．（I）设G是OC的中点，证明：//FG平面BOE；（II）证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m则0,0,0,(0,8,0),(8,0,0),(0,8,0),OABC(0,0,6),(0,4,3),PE4,0,3F，由题意得，0,4,0,G因(8,0,0),(0,4,3)OBOE，因此平面BOE的法向量为(0,3,4)n，(4,4,3FG得0nFG，又直线FG不在平面BOE内，因此有//FG平面BOE（II）设点M的坐标为00,,0xy，则00(4,,3)FMxy，因为FM平面BOE，