2009年高考试题——数学理（重庆卷）解析版

2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）本试卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件AB，互斥，那么()()()PABPAPB如果事件AB，相互独立，那么()()()PABPAPB如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率()(1)(01,2)kknknnPkCPPkn，，，以R为半径的球体积：34π3VR一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线1yx与圆221xy的位置关系为（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离【答案】B【解析】圆心(0,0)为到直线1yx，即10xy的距离1222d，而2012，选B。2．已知复数z的实部为1，虚部为2，则5iz=（）A．2iB．2iC．2iD．2i【答案】A【解析】因为由条件知12zi，则55(12)5102(12)(12)5iiiiizii，所以选A。3．282()xx的展开式中4x的系数是（）A．16B．70C．560D．1120【答案】【解析】设含4x的为第2616316621,()()2rrrrrrrrTCxCxx，1634r所以4r，故系数为：44621120C，选D。4．已知1,6,()2ababa，则向量a与向量b的夹角是（）A．6B．4C．3D．2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【答案】C【解析】因为由条件得222,23cos16cos,abaabaab所以1cos23所以，所以5．不等式2313xxaa对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．(,1][4,)B．(,2][5,)C．[1,2]D．(,1][2,)【答案】A【解析】因为24314313xxxxaa对对任意x恒成立，所以22343041aaaaaa即，解得或6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）A．891B．2591C．4891D．6091w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【答案】C【解析】因为总的滔法415,C而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按1.1.2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为1121212116546546544154891CCCCCCCCCC7．设ABC的三个内角,,ABC，向量(3sin,sin)ABm，(cos,3cos)BAn，若1cos()ABmn，则C=（）A．6B．3C．23D．56w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【答案】C【解析】3sincoscossin3sin()1cos()mnABABABAB,3sin1cos3sincos12sin16ABCCCCCC所以即，（）152sin(62663CCC），由题，即8．已知22lim()21xxaxbx，其中,abR，则ab的值为（）A．6B．2C．2D．6【答案】D【解析】222(2)()2(2)()limlimlim21111xxxbaxabxaxaxbxbaxabxbxxxx20,2,4,2(4)6()2aababab则解得故9．已知二面角l的大小为050，P为空间中任意一点，则过点P且与平面和平面所成的角都是025的直线的条数为（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．2B．3C．4D．5w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【答案】B【解析】AFE是度数为050的二面角的一个平面角，FGAFE为的平分线，当过P的直线与FG平行时，满足条件，当过点p的直线与AD平行，也是满足条件直线，与AD直线类似，过点的直线与BE平行也是满足条件得共有3条。10．已知以4T为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3]mxxfxxx，其中0m。若方程3()fxx恰有5个实数解，则m的取值范围为（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．158(,)33B．15(,7)3C．48(,)33D．4(,7)3【答案】B【解析】因为当(1,1]x时，将函数化为方程2221(0)yxym，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当(1,3]x得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线3xy与第二个椭圆222(4)1(0)yxym相交，而与第三个半椭圆222(4)1(0)yxym无公共点时，方程恰有5个实数解，将3xy代入222(4)1(0)yxym得2222(91)721350,mxmxm令229(0)(1)8150tmttxtxt则由2215(8)415(1)0,15,915,03ttttmmm得由且得同样由3xy与第二个椭圆222(8)1(0)yxym由0可计算得7m综上知15(,7)3m二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上．11．若3AxRx，21xBxR，则AB．【答案】（0，3）【解析】因为|33,|0,AxxBxx所以(0,3)ABI12．若1()21xfxa是奇函数，则a．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【答案】12【解析】解法112(),()()2112xxxfxaafxfx21121()21122112122xxxxxxaaaa故13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．【答案】36【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有21142122CCCA;第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有33A所以满足条件得分配的方案有211342132236CCCAA14．设12a，121nnaa，21nnnaba，*nN，则数列nb的通项公式nb=．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【答案】：2n+1【解析】由条件得111112222222111nnnnnnnnaaabbaaa且14b所以数列nb是首项为4，公比为2的等比数列，则11422nnnb15．已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，若双曲线上存在一点P使1221sinsinPFFaPFFc，则该双曲线的离心率的取值范围是．解法1，因为在12PFF中，由正弦定理得211221sinsinPFPFPFFPFF则由已知，得1211acPFPF，即12aPFcPF，且知点P在双曲线的右支上，设点00(,)xy由焦点半径公式，得1020,PFaexPFexa则00()()aaexcexa解得0()(1)()(1)acaaexecaee由双曲线的几何性质知0(1)(1)aexaaee则，整理得2210,ee解得2121(1,)ee，又，故椭圆的离心率(1,21)e解法2由解析1知12cPFPFa由双曲线的定义知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m212222222caPFPFaPFPFaPFaca则即，由椭圆的几何性质知22222,,20,aPFcacacacaca则既所以2210,ee以下同解析1.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）设函数2()sin()2cos1468xxfx．（Ⅰ）求()fx的最小正周期．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）若函数()ygx与()yfx的图像关于直线1x对称，求当4[0,]3x时()ygx的最大值．(16)（本小题13分）解：（Ⅰ）()fx=sincoscossincos46464xxx=33sincos2424xx=3sin()43x故()fx的最小正周期为T=24=8(Ⅱ)解法一：在()ygx的图象上任取一点(,())xgx，它关于1x的对称点(2,())xgx.由题设条件，点(2,())xgx在()yfx的图象上，从而()(2)3sin[(2)]43gxfxx=3sin[]243x=3cos()43x当304x时，23433x，因此()ygx在区间4[0,]3上的最大值为max33cos32g解法二：因区间4[0,]3关于x=1的对称区间为2[,2]3，且()ygx与()yfx的图象关于x=1对称，故()ygx在4[0,]3上的最大值为()yfx在2[,2]3上的最大值由（Ⅰ）知()fx＝3sin()43x当223x时，6436因此()ygx在4[0,]3上的最大值为max33sin62g.17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；（Ⅱ）成活的株数的分布列与期望．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(17)（本小题13分）解：设kA表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2lB表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2则kA，lB独立.由独立重复试验中事件发生的概率公式有2221()()()33kkkkPAC,2211()()()22llllPBC.据此算得01()9PA,14()9PA,24()9PA.01()4PB,11()2PB,21()4PB.(Ⅰ)所求概率为2111412()()()929PABPAPB.(Ⅱ)解法一：的所有可能值为0，1，2，3，4，且0000111(0)()()()9436PPABPAPB,011011411(1)()()92946PPABPAB,021120114141(2)()()()949294PPABPABPAB=1336,122141411(3)()()94923PPABPAB.22411(4)()949PPAB.综上知有分布列01234P1/361/613/361/31/9从而，的期望为111311012343663639E73（株）解法二：分布列的求法同上令12，分别表示甲乙两种树成活的株数，则12::21B(2,