清华大学弹性力学冯西桥FXQ-Chapter-04应变理论

1冯西桥清华大学工程力学系2007.10.17第四章应变理论TheoryofStrains2应变理论位移和应变（小应变情况）位移和应变（一般情况）刚体转动应变协调方程位移场的单值条件由应变求位移Chapter43位移和应变Chapter4.1yzxoABCABCABCABC位移4位移和应变Chapter4.1位移的描述①刚体位移：整个物体在空间做刚体运动引起的，包括平动和转动。②变形：物体形状变化引起的位移，位移发生时不仅改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置。一般来说，刚体位移和变形是同时出现的。5位移和应变Chapter4.1yzxoA:(x,y,z)..A':(x',y',z')位移u123(,,)xxxuu6位移和应变Chapter4.1位移123(,,)xxxuu(,,)(,,)(,,)uuxyzvvxyzwwxyz分量形式：111232212333123(,,)(,,)(,,)uuxxxuuxxxuuxxx或7位移和应变Chapter4.1单轴应变xdxxABA’B’u(x)u(x+dx)F8位移和应变Chapter4.1单轴应变微元的长度变化：lABABxdxuxdxxuxdxuxdxuxTaylor级数展开：22212duduuxdxuxdxdxdxdx9位移和应变Chapter4.1单轴应变略去高阶项：单轴应变（工程应变）定义为：duluxdxuxdxdx/xxldududxdxldxdx10位移和应变应变分量平行六面体(称为微元体)Chapter4.1yzxo11应变分量Chapter4.1yzxodxdydz位移和应变12Chapter4.1位移和应变13ddddddxyzxxyyzzChapter4.1正应变(相对伸长度)位移和应变14Chapter4.1切应变(剪应变)yzxo12yzzyxyyxyzzyzxxz位移和应变15Chapter4.1工程剪应变yzxoyzzyxyyxyzzyzxxz位移和应变16duuyyduyyPCBAPABCdxxuduxxdvvxxdvxxydyvdvvyy位移和应变＋uyx17由于位移是坐标值的连续函数，所以P点在x及y轴上的位移分量为u，v，则A点及B点的位移分量为(d,,);(d,,)(,d,);(,d,)uxxyzvxxyzuxyyzvxyyzChapter4.1位移和应变A:B:d,dd,duvuxvxxxuvuyvyyyA:B:18按照多元函数Taylor级数展开，并利用小变形假设而略去二阶以上的无穷小量，则得A点及B点的位移分量为d,dd,duvuxvxxxuvuyvyyyChapter4.1位移和应变19ddddxuuxxuxxuxxPCBAPACdxxuduxxyxoChapter4.1位移和应变＋u适用条件？20ddddyvvyyvyyvyyChapter4.1位移和应变xyzotantanxyddd1d1uvyxyxuvxyxy11xyuvvuyxxy21小应变情况下，应变和位移的关系：1,21,21,2xxxyyyyzzzzxuvuxxyvwvyyzwuwzzxChapter4.1几何方程位移和应变22小应变情况下，应变和位移的关系：1121112211212232223322323313313313131,21,21,2uuuxxxuuuxxxuuuxxxChapter4.1几何方程位移和应变23小应变情况下，工程应变和位移的关系：,,,xxxyyyyzzzzxuvuxxyvwvyyzwuwzzxChapter4.1几何方程位移和应变24应变理论位移和应变（小应变情况）位移和应变（一般情况）刚体转动应变协调方程位移场的单值条件由应变求位移Chapter425Chapter4.2拉格朗日坐标系（或随体坐标系、物质坐标系）由变形前嵌入物体内的老坐标系随物体质点一起变形而得到的，所以在变形过程中，质点的坐标值始终保持不变。在物体变形中一般变为曲线坐标系。在固体力学中，大多采用拉格朗日坐标系。位移和应变26Chapter4.2位移和应变欧拉坐标系（或空间坐标系）固定在空间点上的坐标系，其基矢量不随物体变形而变化。在流体力学中，一般采用欧拉坐标系。27Chapter4.2位移和应变u28uChapter4.2iiiiOPaOPxaexeP及P点的矢径分别为：位移和应变29Chapter4.2根据变形后不开裂或重叠的基本假设，xi和ai间应存在一一对应的互逆关系。于是，以上两式的雅可比行列式应不为零，即()()x=xaa=ax位移和应变30Chapter4.2111123123222123123333123(,,)0(,,)ijxxxaaaxxxxxxxaaaaaaaxxxaaa111123123222123123333123(,,)0(,,)ijaaaxxxaaaaaaaxxxxxxxaaaxxx位移和应变31Chapter4.2iiiiOPaOPxaexe定义P点的位移矢量：uxa即iiiuxa注:弹性力学中，通常假定位移场足够光滑，存在三阶以上的连续偏导数。位移和应变位移32Chapter4.2描述物体位移的方法拉格朗日描述法欧拉描述法位移和应变33Chapter4.2拉格朗日描述法以物体变形前的初始构形B为参照构形，质点变形前的坐标ai=(a1,a2,a3)为基本未知量。将变形后物体的位置x表示为a1,a2,a3的函数：123(),(,,)iixxaaax=xa123123(,,)(,,)iiiiuxaaaauaaa位移场u用初始坐标ai描述：位移和应变34Chapter4.2欧拉描述法以物体变形后的新构形B为参照构形，质点变形后的坐标xi=(x1,x2,x3)为基本未知量。将变形前物体的位置a表示为x1,x2,x3的函数：123(),(,,)iiaaxxxa=ax位移和应变123123(,,)(,,)iiiiuxaxxxuxxx位移场u用当前坐标xi描述：35变形的描述考虑变形前的任意线元，其端点P(a1,a2,a3）及Q(a1+da1,a2+da2,a3+da3)的矢径分别为Chapter4.2d(d)iiiiiOPaOQaaaeaaeddiiPQOQOPaaePQ位移和应变36Chapter4.2变形后，P、Q两点分别位移至P和Q，相应的矢径和线元为d(d)iiiiiOPxOQxxxexxeddiiPQOQOPxxe位移和应变37Chapter4.2变形前后，线元和的长度平方为ddiiPQaaeddiiPQxxe20ddddddiiijijSaaaaaa2dddddmmSxxxxPQPQ位移和应变38Chapter4.2采用拉格朗日描述法，xm=xm(ai)，则d=dmmiixxaa2dddddmmSxxxx2dddmmijijxxSaaaa注：一般记，称为变形梯度张量mmiixFa位移和应变39Chapter4.22dddmmijijxxSaaaa20dddddddiiijijSaaaaaa220ddSS位移和应变ddddmmijijijijxxaaaaaa=ddmmijijijxxaaaa40Chapter4.2220dd2dijijSSEaa12mmijijijxxEaaijijEEee记2201(dd)dd2SSaEa位移和应变41Chapter4.22201(dd)dd2SSaEa根据商判则，E是二阶张量，称为格林应变张量。1122mmmmjijiijijjiijxxxxEEaaaa位移和应变42Chapter4.2123123(,,)(,,)iiiiuxaaaauaaa将上式改写为()()mimmixaaua求导mmmiiixuaa12mmijijijxxEaa格林应变张量的位移分量表达式位移和应变1()()2mmmimjijijuuaa12jimmjiijuuuuaaaa43Chapter4.2引进笛卡尔坐标系中位移梯度u和ujiijijjiuuaa，ueeuee12jimmijjiijuuuuEaaaa写成实体符号：1()2Euuuu位移和应变44Chapter4.2在笛卡尔坐标系中分量形式为2223112111111222321222222222233123333333121122122121121211()()()21()()()21()()()212uuuuEaaaauuuuEaaaauuuuEaaaauuuuuuuEEaaaaaaa3233321122233232232323333111223113313131311212uauuuuuuuuEEaaaaaaaauuuuuuuuEEaaaaaaaa位移和应变45线元PQ方向的单位矢量为Chapter4.2用格林应变张量表示线元的长度变化变形前，长度比：00ddddiiiiavSSavee0ddvSS位移和应变46Chapter4.22201(dd)dd2SSaEa00ddddiiiiavSSavee长度比表示为：000ddd12ddd1212vijijSSSSEvvaaEvEv位移和应变其中：47Chapter4.2用格林应变张量表示线元方向的改变变形后，线元方向为ddddiiiixvvSSxee00ddd1dddjiiiijjjvaxxSxvvSaSSammmiiixuaa1()iijijjvuvva1(1)vvuv位移和应变利用任意线元变形后的方向余弦可用位移表示成48位移和应变Chapter4.2用格林应变表示线元间夹角余弦的变化49用格林应变表示线元间夹角余弦的变化变形前的两个任意线元和，其单位矢量分别为v和t，方向余弦分别为vi和ti，夹角余弦为Chapter4.2PQPRcos(,)iivtvtvt位移和应变50用格林应变表示线元间夹角余弦的变化变形后，其单位矢量分别为v和t