【数学】2010年高考试题——数学（安徽卷）（文）

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。全卷满分l50分，考试时间l20分钟。考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草．稿纸上答题无效．．．．．．．。4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。参考公式：S表示底面积，h表示底面上的高如果事件A与B互斥，那么棱柱体积V=ShP(A+B)=P(A)+P(B）棱锥体积V=13Sh第Ⅰ卷(选择题共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．(1)若A=|10xx，B=|30xx，则AB=(A)(-1，+∞)(B)(-∞，3)(C)(-1，3)(D)(1，3)1.C【解析】(1,),(,3)AB，(1,3)AB，故选C.【方法总结】先求集合A、B，然后求交集，可以直接得结论，也可以借助数轴得交集.(2)已知21i，则i(13i)=(A)3i(B)3i(C)3i(D)3i2.B【解析】(13)3iii，选B.【方法总结】直接乘开，用21i代换即可.(3)设向量(1,0)a,11(,)22b,则下列结论中正确的是(A)ab(B)22ab(C)//ab(D)ab与b垂直3.D【解析】11(,)22ab=，()0abb，所以ab与b垂直.【规律总结】根据向量是坐标运算，直接代入求解，判断即可得出结论.（4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（A）x-2y-1=0(B)x-2y+1=0(C)2x+y-2=0（D）x+2y-1=04.A【解析】设直线方程为20xyc，又经过(1,0)，故1c，所求方程为210xy.【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为20xyc，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行.(5)设数列{}na的前n项和2nSn，则8a的值为（A）15(B)16(C)49（D）645.A【解析】887644915aSS.【方法技巧】直接根据1(2)nnnaSSn即可得出结论.（6）设0abc,二次函数2()fxaxbxc的图像可能是6.D【解析】当0a时，b、c同号，（C）（D）两图中0c，故0,02bba，选项（D）符合【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分0a或0a两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.（7）设232555322555abc（）,（），（），则a，b，c的大小关系是（A）a＞c＞b（B）a＞b＞c（C）c＞a＞b（D）b＞c＞a7.A【解析】25yx在0x时是增函数，所以ac，2()5xy在0x时是减函数，所以cb。【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.（8）设x,y满足约束条件260,260,0,xyxyy则目标函数z=x+y的最大值是（A）3（B）4（C）6（D）88.C【解析】不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是(3,0),(6,0),(2,2)，目标函数zxy在(6,0)取最大值6。【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值.（9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（A）372（B）360（C）292（D）2809.B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。2(10810282)2(6882)360S.【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。（10）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（A）318（A）418（A）518（A）61810.C【解析】正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件。两条直线相互垂直的情况有5种（4组邻边和对角线）包括10个基本事件，所以概率等于.【方法技巧】对于几何中的概率问题，关键是正确作出几何图形，分类得出基本事件数，然后得所求事件保护的基本事件数，进而利用概率公式求概率.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置·(11)命题“存在xR，使得2250xx”的否定是11.对任意xR，都有2250xx.【解析】特称命题的否定时全称命题，“存在”对应“任意”.【误区警示】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“”的否定用“”了.这里就有注意量词的否定形式.如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”.(12)抛物线28yx的焦点坐标是12.(2,0)【解析】抛物线28yx，所以4p，所以焦点(2,0).【误区警示】本题考查抛物线的交点.部分学生因不会求p，或求出p后，误认为焦点(,0)p，还有没有弄清楚焦点位置，从而得出错误结论.(13)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x=13.12【解析】程序运行如下:1,2,4,5,6,8,9,10,12xxxxxxxxx,输出12。【规律总结】这类问题，通常由开始一步一步运行，根据判断条件，要么几步后就会输出结果，要么就会出现规律，如周期性，等差或等比数列型.(14)某地有居民100000户，其中普通家庭99000户,高收入家庭1000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收人家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是.14.5.7%【解析】该地拥有3套或3套以上住房的家庭可以估计有：50709900010005700990100户，所以所占比例的合理估计是57001000005.7%.【方法总结】本题分层抽样问题，首先根据拥有3套或3套以上住房的家庭所占的比例，得出100000户，居民中拥有3套或3套以上住房的户数，它除以100000得到的值，为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计.(15)若0,0,2abab，则下列不等式对一切满足条件的,ab恒成立的是(写出所有正确命题的编号)．①1ab；②2ab；③222ab；④333ab；⑤112ab15.①，③，⑤【解析】令1ab，排除②②；由221ababab，命题①正确；222()2422abababab，命题③正确；1122abababab，命题⑤正确。【方法总结】三、解答题：本大题共6小题．共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内。16、（本小题满分12分）ABC的面积是30，内角,,ABC所对边长分别为,,abc，12cos13A。(Ⅰ)求ABAC；(Ⅱ)若1cb，求a的值。16.【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.【解题指导】（1）根据同角三角函数关系，由12cos13A得sinA的值，再根据ABC面积公式得156bc；直接求数量积ABAC.由余弦定理2222cosabcbcA，代入已知条件1cb，及156bc求a的值.解：由12cos13A，得2125sin1()1313A.又1sin302bcA，∴156bc.（Ⅰ）12cos15614413ABACbcA.（Ⅱ）2222cosabcbcA212()2(1cos)12156(1)2513cbbcA，∴5a.【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知ABC的面积是30，12cos13A，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值.第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.17、（本小题满分12分）椭圆E经过点2,3A，对称轴为坐标轴，焦点12,FF在x轴上，离心率12e。(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)求12FAF的角平分线所在直线的方程。17.【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力.【解题指导】（1）设椭圆方程为22221xyab，把点2,3A代入椭圆方程，把离心率12e用,ac表示，再根据222abc，求出22,ab，得椭圆方程；（2）可以设直线l上任一点坐标为(,)xy，根据角平分线上的点到角两边距离相等得|346||2|5xyx.解：（Ⅰ）设椭圆E的方程为22222222222222221212121.11,,3,1.2243131,2,1.16123()(2,0),(2,0),(2),43460.2.xyabcxyebaccaccAcEccxyFAFxxyAFxEAF由得将（2，3）代入，有解得：椭圆的方程为由（）知F所以直线的方程为y=即直线的方程为由椭圆的图形知，F的角平分线所在直线的斜率为正121234625346510,280,xyAFxxyxxyAF数。设P（x,y）为F的角平分线所在直线上任一点，则有若得其斜率为负，不合题意，舍去。于是3x-4y+6=-5x+10,即2x-y-1=0.所以，F的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0.【规律总结】对于椭圆解答题，一般都是设椭圆方程为22221xyab，根据题目满足的条件求出22,ab，得椭圆方程，这一问通常比较简单；（2）对于角平分线问题，利用角平分线的几何意义，即角平分线上的点到角两边距离相等得方程.18、（本小题满分13分）某市2010年4月1日—4月30日对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）:61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45,(Ⅰ)完成频率分布表；（Ⅱ）作出频率分布直方图；（Ⅲ）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优：在51~100之间时，为良；在101~150之间时，为轻微污染；在151~200之间时，为轻度污染。请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价