清华大学弹性力学冯西桥FXQ-Chapter-03应力理论

1冯西桥清华大学工程力学系2007.10.10第三章应力理论Theoryofstresses2应力理论Chapter3外力、内力与应力柯西公式应力转换公式主应力与应力不变量最大剪应力，八面体剪应力平衡微分方程3外力、内力与应力Chapter3.1外力4外力、内力与应力Chapter3.1外力体力即分布在物体体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力、运转零件的惯性力等。面力即作用在物体表面上的力，例如作用在飞机机翼上的空气动力、水坝所受的水压力等。5外力、内力与应力Chapter3.1定义式体力：0limVVFfVF110limVFfV220limVFfV330limVFfV0limiiVFfV6外力、内力与应力Chapter3.1定义式0limSSPX面力：SP0limiiSPXS7外力、内力与应力Chapter3.1内力物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力，称为内力。内力也是分布力，它起着平衡外力和传递外力的作用，是变形体力学研究的重要对象之一。应力的概念正是为了精确描述内力而引进的。8S外力、内力与应力Chapter3.1应力应力矢量9外力、内力与应力Chapter3.1()0limSSF若取为变形前面元的初始面积，则上式给出工程应力，亦称名义应力，常用于小变形情况。对于大变形问题，应取为变形后面元的实际面积，称真实应力，简称真应力,也称柯西应力。SSS应力矢量：10外力、内力与应力Chapter3.1应力的定义11外力、内力与应力Chapter3.1应力矢量的大小和方向不仅和M点的位置有关，而且和面元法线方向有关。12外力、内力与应力作用在同一点不同法向面元上的应力矢量各不相同，反之，不同曲面上的面元，只要通过同一点且法线方向相同，则应力矢量也相同。13外力、内力与应力Chapter3.1()00limlimiiSiiSFSPXS应力矢量和面力矢量的数学定义和物理量纲都相同。区别在于：应力是作用在物体内界面上的未知内力，而面力是作用在物体外表面的已知外力。当内截面无限趋近于外表面时，应力也趋近于外加面力之值。14外力、内力与应力Chapter3.1正六面体微元:外法线与坐标轴同向的三个面称为正面，记为dSi，它们的单位法向矢量为i＝ei，ei是沿坐标轴的单位矢量；另三个外法线与坐标轴反向的面元称为负面。yzxo15yzxo外力、内力与应力Chapter3.1yxyyyz()16yzxo外力、内力与应力Chapter3.1xxxyxzxxxyxzzxzyzzzxzyzzyxyyyzyxyyyz应力分量的正负号规定17外力、内力与应力Chapter3.1yzxoxxxyxzyxyyyzzxzyzz应力分量的个数18外力、内力与应力Chapter3.1x222x11131e1e2e3x333321323211219外力、内力与应力Chapter3.1把作用在正面dSi上的应力矢量沿坐标轴正向分解得：即：(1)1111221331(2)2112222332(3)3113223333jjjjjjeeeeeeeeeeee()iijjex222x11131e1e2e3x333321323211220外力、内力与应力Chapter3.1(1)1111221331(2)2112222332(3)3113223333jjjjjjeeeeeeeeeeee共出现九个应力分量：111213212223313233()ij21外力、内力与应力Chapter3.1111213212223313233()ij第一指标i表示面元的法线方向，称面元指标；第二指标j表示应力的分解方向，称方向指标。当i＝j时，应力分量垂直于面元，称为正应力。当i≠j时，应力分量作用在面元平面内，称为剪应力。23应力理论Chapter3外力、内力与应力柯西公式应力转换公式主应力与应力不变量最大剪应力，八面体剪应力平衡微分方程24Chapter3.2柯西公式x1x3x2四面体OABC，由三个负面和一个法向矢量为的斜截面组成，其中为方向的方向余弦。112233iieeeecos(,)iiiee斜截面上的应力25Chapter3.2斜截面上的应力x1x3x2111213212223313233()?柯西公式27Chapter3.2的面积为dS,则三个负面的面积分别为ABC111222333dd()ddd()ddd()dSOBCSSSOCASSSOABSSeee斜截面的面元矢量为：112233ddddSSSSeee柯西公式28Chapter3.2()3()2()1()1x2x3x图2-4四面体的体积为：dh为顶点O到斜面的垂直距离13ddVhS柯西公式29Chapter3.2()3()2()1()1x2x3x图2-4四面体上作用力的平衡条件是：(1)1(2)2(3)3()ddd1d(dd)03SSSSfhS第五项是体力的合力，由于dh是小量，故体力项可以略去。可得：()1(1)2(2)3(3)1(1)2(2)3(3)()()()()eeeeee柯西公式30Chapter3.2()112233()()jjjjjjijijeeeeeeee根据商判则，知必是一个二阶张量，于是定义应力张量ijijeeijijee柯西公式31这就是著名的柯西公式，又称斜面应力公式。Chapter3.2()()ijijee柯西公式32Chapter3.2()把斜面应力沿坐标轴方向分解：则柯西公式的分量表达式为()()11()22()33()jjeeee()jiij()1111221331()2112222332()3113223333即柯西公式33Chapter3.2柯西公式应用－计算斜截面上的应力斜面上应力的大小()1()2()3()()222()1/21/2iilikkil柯西公式34Chapter3.2柯西公式应用－计算斜截面上的应力斜面上应力的方向即()n()1()2()1()2()3()3cos,;cos,cos,eee柯西公式35Chapter3.2斜面正应力斜面剪应力()==nijij()n22n柯西公式应用－计算斜截面上的应力柯西公式36Chapter3.2若斜面是物体的边界面，则柯西公式可用作未知应力场的力边界条件：其中pj是面力p沿坐标轴方向的分量，通常记为xxyzxyxyzyxzyzzXlmnYlmnZlmnjiijp写成指标符号,,XYZ柯西公式应用－给定应力边界条件柯西公式37应力理论Chapter3外力、内力与应力柯西公式应力转换公式主应力与应力不变量最大剪应力，八面体剪应力平衡微分方程38Chapter3.2应力转换公式应力分量转换公式新、老两个笛卡尔坐标系和坐标间转换关系为：mx0()mmiimxxxixcos,mmiimimixxee39Chapter3.2考虑垂直于新轴的正截面，其法向矢量即为。mxme利用柯西公式，该截面上的应力为()();mmmjmiije是新正截面上的应力对老坐标轴分解的结果。()mj()mjx应力转换公式40Chapter3.2将对新坐标轴分解可以得到新坐标系中的应力分量：()mnx()mnmne()mmemnmneemmiieennjjeeklkleemnminjij应力转换公式41上式就是应力分量转换公式，简称转轴公式。Chapter3.2mnminjijmi1x2x3x1x2x3x1l1m1n2l2m2n3l3m3n应力转换公式42应力理论Chapter3外力、内力与应力柯西公式应力转换公式主应力与应力不变量最大剪应力，八面体剪应力平衡微分方程43Chapter3.3主应力&应力不变量x1x3x2111213212223313233()44Chapter3.3主应力&应力不变量概念•切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主平面。•主平面的法线称为应力主轴，或者称为应力主方向。•主平面上的正应力称为主应力。45Chapter3.3主应力&应力不变量主应力和应力不变量假设存在主平面BCD，其法线方向为n(l,m,n)，截面上的总应力pn＝，亦即n方向截面上剪应力为零。则截面上总应力pn在坐标轴方向的分量可以表示为nxnynzplpmpn46Chapter3.3主应力&应力不变量对斜面BCD运用柯西公式，可得：由剪应力互等定理可得：nxxyxzxnyxyyzynzxzyzzplmnplmnplmnnxxxyxznyxyyyznzxzyzzplmnplmnplmn47Chapter3.3主应力&应力不变量(1)nxxxyxznyxyyyznzxzyzzplmnplmnplmn(2)nxnynzplpmpn由(1)和(2)式得：000xxyxzxyyyzxzyzzlmnlmnlmn48Chapter3.3主应力&应力不变量由于，所以要有非零解，则上述三个方程必须是线性相关的，亦即系数行列式为零：2221lmn000xxyxzxyyyzxzyzzlmnlmnlmn0xxyxzxyyyzxzyzz49Chapter3.3主应力&应力不变量0xxyxzxyyyzxzyzz展开行列式得到应力状态的特征方程：式中321230III1112233xyziiI50Chapter3.3主应力&应力不变量31232222xxyzxxyyyzijkijkzxyzzxyzxyyzzxxyzyzxzxyIe2222211122xxyyyzzzxxyyyzzzxxxyyzzxxyyzzxiijjijijijijII51Chapter3.3主应力&应力不变量321230III求解应力状态的特征方程，可以得到三个实根：1，2，3，即为该点的三个主应力。52Chapter3.3主应力&应力不变量若将一个根代入如下方程组：可以顺次求出相应于1，2和3的三个主方向：2220001xxyxzxyyyzxzyzzlmnlmnlmnlmn