【数学】2010年高考试题——数学（江西卷）（理）

2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（江西卷）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。1.已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y分别为（）A.x=-1，y=1B.x=-1，y=2C.x=1，y=1D.x=1，y=2【答案】D【解析】考查复数的乘法运算。可采用展开计算的方法，得2()(1)xixiy，没有虚部，x=1,y=2.2.若集合A=|1xxxR，，2B=|yyxxR，，则AB=（）A.|11xxB.|0xxC.|01xxD.【答案】C【解析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算。常见的解法为计算出集合A、B；{|11}Axx，{|0}Byy,解得AB={x|01}x。在应试中可采用特值检验完成。3.不等式22xxxx的解集是（）A.(02)，B.(0)，C.(2)，D.(0)（-，0），【答案】A【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.20xx，解得A。或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除。4.2111lim1333nx（）A.53B.32C.2D.不存在【答案】B【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。1133lim()1213nn5.等比数列na中，12a，8a=4，函数128()()()fxxxaxaxa，则'0f（）A．62B.92C.122D.152【答案】C【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，则'0f只与函数fx的一次项有关；得：412123818()2aaaaaa。6.82x展开式中不含．．4x项的系数的和为（）A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反。采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去4x项系数80882(1)1C即为所求，答案为0.7.E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF（）A.1627B.23C.33D.34【答案】D【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。解法1：约定AB=6,AC=BC=32,由余弦定理CE=CF=10,再由余弦定理得4cos5ECF，解得3tan4ECF解法2：坐标化。约定AB=6,AC=BC=32,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夹角公式得4cos5ECF，解得3tan4ECF。8.直线3ykx与圆22324xy相交于M,N两点，若23MN，则k的取值范围是A.304，B.304，，C.3333，D.203，【答案】A【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.解法1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与y轴相切.当|MN|23时，由点到直线距离公式，解得3[,0]4；解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，选A9．给出下列三个命题：①函数11cosln21cosxyx与lntan2xy是同一函数；②若函数yfx与ygx的图像关于直线yx对称，则函数2yfx与12ygx的图像也关于直线yx对称；③若奇函数fx对定义域内任意x都有(2)fxfx，则fx为周期函数。其中真命题是A.①②B.①③C.②③D.②【答案】C【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除A、B，验证③,[2()](2)fxfxfx,又通过奇函数得()fxfx，所以f（x）是周期为2的周期函数，选择C。10.过正方体1111ABCDABCD的顶点A作直线L，使L与棱AB,AD,1AA所成的角都相等，这样的直线L可以作A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】D【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为1p和2p，则A.1p=2pB.1p2pC.1p2pD。以上三种情况都有可能【答案】B【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂作业，作为旧大纲的最后一年高考，本题给出一个强烈的导向信号。方法一：每箱的选中的概率为110，总概率为0010101(0.1)(0.9)C；同理，方法二：每箱的选中的概率为15，总事件的概率为0055141()()55C，作差得1p2p。12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为00StS，则导函数'ySt的图像大致为【答案】A【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上。13.已知向量a，b满足1a，2b，a与b的夹角为60°，则ab【答案】3【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图,,aOAbOBabOAOBBA，由余弦定理得：3ab14.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答）。【答案】1080【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识，重点考查化归转化和应用知识的意识。先分组，考虑到有2个是平均分组，得221164212222CCCCAA两个两人组两个一人组，再全排列得：221146421422221080CCCCAAA15.点00()Axy，在双曲线221432xy的右支上，若点A到右焦点的距离等于02x，则0x=【答案】2【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取a=2.c=6,red3rd,200023()2axxxc16.如图，在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OAOBOC,分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为1S，2S，3S，则1S，2S，3S的大小关系为。【答案】321SSS【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得321SSS。三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）已知函数21cotsinsinsin44fxxxmxx。(1)当m=0时，求fx在区间384，上的取值范围；(2)当tan2a时，35fa，求m的值。【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.解：（1）当m=0时，22cos1cos2sin2()(1)sinsinsincossin2xxxfxxxxxx1[2sin(2)1]24x，由已知3[,]84x，得22[,1]42x从而得：()fx的值域为12[0,]2（2）2cos()(1)sinsin()sin()sin44xfxxmxxx化简得：11()[sin2(1)cos2]22fxxmx当tan2，得：2222sincos2tan4sin2sincos1tan5aaaaaaa，3cos25a，代入上式，m=-2.18.（本小题满分12分）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过．．．的通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。（1）求的分布列；（2）求的数学期望。【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。（1）必须要走到1号门才能走出，可能的取值为1，3，4，61(1)3P，111(3)326P，111(4)326P，22111(6)()1323PA分布列为：（2）11117134636632E小时19.（本小题满分12分）设函数lnln2(0)fxxxaxa。（1）当a=1时，求fx的单调区间。（2）若fx在01，上的最大值为12，求a的值。【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。解：对函数求导得：11()2fxaxx，定义域为（0，2）（1）单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。当a=1时，令2112()0+1=0022xfxxxxx得（）当(0,2),()0,xfx为增区间；当(22),()0,xfx，为减函数。（2）区间01，上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值。当01x，有最大值，则必不为减函数，且11()2fxaxx0，为单调递增区间。最大值在右端点取到。max1(1)2ffa。20.（本小题满分12分）如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，23AB。（1）求点A到平面MBC的距离；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。1346P13161613【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD平面BCD,则MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=3，MO∥AB，MO//面ABC，M、O到平面ABC的距离相等，作OHBC于H，连MH，则MHBC，求得：OH=OCsin600=32,MH=152,利用体积相等得：2155AMBCMABCVVd。（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线.由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.sin603BFBC，tan2ABBF，25sin5所以，所求二面角的正弦值是255.【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊