【数学】2010年高考试题——数学（浙江卷）（理）

2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学理解析一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设P=｛x︱x4｝,Q=｛x︱2x4｝，则（A）pQ（B）QP（C）RpQC（D）RQPC解析：22＜＜xxQ，可知B正确，本题主要考察了集合的基本运算，属容易题（2）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内位（A）k＞4?（B）k＞5?（C）k＞6?（D）k＞7?解析：选A，本题主要考察了程序框图的结构，以及与数列有关的简单运算，属容易题（3）设nS为等比数列na的前n项和，2580aa，则52SS（A）11（B）5（C）8（D）11解析：解析：通过2580aa，设公比为q，将该式转化为08322qaa，解得q=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题（4）设02x＜＜，则“2sin1xx＜”是“sin1xx＜”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件解析：因为0＜x＜2π，所以sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，结合xsin2x与xsinx的取值范围相同，可知答案选B，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题（5）对任意复数i,Rzxyxy，i为虚数单位，则下列结论正确的是（A）2zzy（B）222zxy（C）2zzx（D）zxy解析：可对选项逐个检查，A项，yzz2，故A错，B项，xyiyxz2222，故B错，C项，yzz2，故C错，D项正确。本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题（6）设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（A）若lm，m，则l（B）若l，lm//，则m（C）若l//，m，则lm//（D）若l//，m//，则lm//解析：选B，可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题（7）若实数x，y满足不等式组330,230,10,xyxyxmy且xy的最大值为9，则实数m（A）2（B）1（C）1（D）2解析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题（8）设1F、2F分别为双曲线22221(0,0)xyabab＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足212PFFF，且2F到直线1PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（A）340xy（B）350xy（C）430xy（D）540xy解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题（9）设函数()4sin(21)fxxx，则在下列区间中函数()fx不．存在零点的是（A）4,2（B）2,0（C）0,2（D）2,4解析：将xf的零点转化为函数xxhxxg与12sin4的交点，数形结合可知答案选A，本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题（10）设函数的集合211()log(),0,,1;1,0,122Pfxxabab，平面上点的集合11(,),0,,1;1,0,122Qxyxy，则在同一直角坐标系中，P中函数()fx的图象恰好．．经过Q中两个点的函数的个数是（A）4（B）6（C）8（D）10解析：当a=0,b=0;a=0,b=1;a=21,b=0;a=21,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B，本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考察，属中档题二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。（11）函数2()sin(2)22sin4fxxx的最小正周期是__________________.解析：242sin22xxf故最小正周期为π，本题主要考察了三角恒等变换及相关公式，属中档题（12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是___________3cm.解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为144，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题（13）设抛物线22(0)ypxp的焦点为F，点(0,2)A.若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_____________。解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为2，B点坐标为（142，）所以点B到抛物线准线的距离为324，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题（14）设112,,(2)(3)23nnnnNxx2012nnaaxaxax，将(0)kakn的最小值记为nT，则2345335511110,,0,,,,2323nTTTTT其中nT=__________________.解析：本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题（15）设1,ad为实数，首项为1a，公差为d的等差数列na的前n项和为nS，满足56150SS，则d的取值范围是__________________.解析：（16）已知平面向量,(0,)满足1，且与的夹角为120°，则的取值范围是__________________.解析：利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解，本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题。（17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人.则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）.解析：本题主要考察了排列与组合的相关知识点，突出对分类讨论思想和数学思维能力的考察，属较难题三、解答题：本大题共5小题．共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（18）(本题满分l4分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知1cos24C(I)求sinC的值；(Ⅱ)当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin2C=14，及0＜C＜π所以sinC=104.（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理acsinAsinC，得c=4由cos2C=2cos2C-1=14，J及0＜C＜π得cosC=±64由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2±6b-12=0解得b=6或26所以b=6b=6c=4或c=4(19)(本题满分l4分)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为l，2，3等奖．（I）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，90％．记随变量为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望E；(II)若有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求)2(P．解析：本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。(Ⅰ)解：由题意得ξ的分布列为ξ50％70％90％p31638716则Εξ=316×50％+38×70％+71690％=34.（Ⅱ）解：由(Ⅰ)可知，获得1等奖或2等奖的概率为316+38=916.由题意得η～（3，916）则P（η=2）=23C(916)2(1-916)=17014096.（20）（本题满分15分）如图，在矩形ABCD中，点,EF分别在线段,ABAD上，243AEEBAFFD.沿直线EF将AEFV翻折成'AEFV，使平面'AEFBEF平面.（Ⅰ）求二面角'AFDC的余弦值；（Ⅱ）点,MN分别在线段,FDBC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与'A重合，求线段FM的长。解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结'AH，因为'AE='AF及H是EF的中点，所以'AHEF,又因为平面'AEF平面BEF.如图建立空间直角坐标系A-xyz则'A（2，2，22），C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0）.故'FA=（-2，2，22），FD=（6，0，0）.设n=（x,y,z）为平面'AFD的一个法向量，-2x+2y+22z=0所以6x=0.取2z，则(0,2,2)n。又平面BEF的一个法向量(0,0,1)m，故3cos,3nmnmnm。所以二面角的余弦值为33（Ⅱ）解：设,FMx则(4,0,0)Mx，因为翻折后，C与A重合，所以'CMAM，故，222222(6)80=2222xx（）（），得214x，经检验，此时点N在线段BC上，所以214FM。方法二：（Ⅰ）解：取线段EF的中点H,AF的中点G,连结',',AGAHGH。因为'AE='AF及H是EF的中点，所以'AHEF又因为平面'AEF平面BEF，所以'AH平面BEF,又AF平面BEF,故'AHAF，又因为G、H是AF、EF的中点，易知GH∥AB，所以GHAF，于是AF面'AGH，所以'AGH为二面角'ADHC的平面角，在'RtAGH中，'AH=22，GH=2，'AG=23所以3cos'3AGH.故二面角'ADFC的余弦值为33。（Ⅱ）解：设FMx,因为翻折后，C与'A重合，所以'CMAM，而222228(6)CMDCDMx，222222'''AMAHMHAHMGGH2(22)得214x，经检验，此时点N在线段BC上，所以214FM。(21)（本题满分15分）已知m＞1，直线2:02mlxmy，椭圆222:1xCym，1,2FF分别为椭圆C的左、右焦点.（Ⅰ）当直线l过右焦点2F时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于,AB两点，12AFFV，12BFFV的重心分别为,GH.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。（Ⅰ）解：因为直线:l202mxmy经过22(1,0)Fm，所以2212mm,得22m，又因为1m，所以2m，故直线l的方程为22202xy。（Ⅱ）解：设1122(,),(,)AxyBxy。由222221mxmyxym，消去x得222104mymy则由2228(1)804mmm，知28m，且有212121,282mmyyyy。由于12(,0)