04【数学】2010年高考试题——数学（广东卷）（理）

绝密★启用前试卷类型：A2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．作答选做题时．请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的．答案无效。5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合|21Axx，|02Bxx，则集合ABIA．|11xxB．|21xxC．|22xxD．|01xx2．若复数11zi，23zi，则12zzA．4B．2+iC．2+2iD．33．若函数()33xxfx与()33xxgx的定义域均为R，则A．()fx与()gx均为偶函数B．()fx为奇函数，()gx为偶函数C．()fx与()gx均为奇函数D．()fx为偶函数．()gx为奇函数4．已知数列na为等比数列，nS是是它的前n项和,若2312aaa，且4a与27a的等差中项为54，则5SA．35B．33C．3lD．295．“14m”是“一元二次方程20xxm有实数解”的A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件6．如图1，ABCV为正三角形，'''////AABBCC，'CC平面ABC，''32BB且3AA'CCAB，则多面体'''ABCABC的正视图（也称主视图）是7．已知随机变量X服从正态分布(3,1)N，且(24)0.6826PX，则(4)PXA．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.15858．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是A．1205秒B．1200秒C．1195秒D．1190秒二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分（一）必做题(9～13题)9．函数，()lg(2)fxx的定义域是．10．若向量(1,1,)axr，(1,2,1)br，(1,1,1)cr，满足条件()(2)2cabrrr，则x．11．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=3，A+C=2B，则sinC=．12．若圆心在x轴上、半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线0xy相切，则圆O的方程是．13．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为1,,nxxL(单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若2n，且1x，2x分别为1，2，则输出的结果s为．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，,ABCD是半径为a的圆O的两条弦，他们相交于AB的中点P，23aPD，30OAP，则CP＝_________．15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（02＜）中，曲线2sin与cos1的交点的极坐标为______________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分l4分）已知函数()sin(3)(0,(,),0)fxAxAx在12x时取得最大值4。（1）求()fx的最小正周期；（2）求()fx的解析式；（3）若212()3125f，求sin。17．（本小题满分12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490,495]，（495,500]，……，（510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示。（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量。（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列。（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率。18．(本小题满分14分)如图5，¼AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为»AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足5FBFDa，DOPABC图36EFa。（1）证明：EBFD；（2已知点,QR为线段,FEFB上的点，23FQFE，23FRFB，求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值。19.（本小题满分12分）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C。另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C。如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?20.（本小题满分14分）已知双曲线212xy的左、右顶点分别为12,AA，点11(,)Pxy，11(,)Qxy是双曲线上不同的两个动点。（1）求直线1AP与2AQ交点的轨迹E的方程；（2若过点(0,)(1)Hhh的两条直线1l和2l与轨迹E都只有一个交点，且12ll，求h的值。21.(本小题满分14分)设11(,)Axy，22(,)Bxy是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离(,)AB为2121(,)||||ABxxyy对于平面xOy上给定的不同的两点11(,)Axy，22(,)Bxy,（1）若点(,)Cxy是平面xOy上的点，试证明(,)(,)(,);ACCBAB（2）在平面xOy上是否存在点(,)Cxy，同时满足①(,)(,)(,)ACCBAB②(,)(,)ACCB若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明。2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．D．【解析】{|21}{|02}{|01}ABxxxxxxII．2．A．【解析】12(1)(3)1311(31)42zziiii3．B．【解析】()33(),()33()xxxxfxfxgxgx．4．C．【解析】设{na}的公比为q，则由等比数列的性质知，231412aaaaa，即42a。由4a与27a的等差中项为54知，475224aa，7415(2)24aa14．∴37418aqa，即12q．3411128aaqa，116a，55116(1)231112S.5．A．【解析】由20xxm知，2114()024mx14m．（或由0得140m，14m。）14m14m，反之不成立，故选A。6．D．7．B．【解析】11(4)[1(24)](10.6826)0.1587.22PXPX8．C．【解析】共有5！=120个不同的闪烁，每个闪烁时间为5秒，共5×120=600秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5×（120—1）=595秒。那么需要的时间至少是600＋595=1195秒。二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9．(2,)．【解析】由20x，得2x，所以函数的定义域为(2,)．10．2．【解析】(0,0,1)caxvv，()(2)2(0,0,1)(1,2,1)2(1)2cabxxvvv，解得2x．11．1．【解析】由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°．由正弦定理知，13sinsin60A，即1sin2A．由ab知，60AB，则30A，180CABo90o于是sinsin901C．12．22(2)2xy．【解析】设圆心为(,0)(0)aa，则22|20|211ar，解得2a．13．14．14．98a．【解析】因为点P是AB的中点，由垂径定理知，OPAB.在RtOPA中，3cos302BPAPaa.由相交弦定理知，BPAPCPDP，即332223aaCPa，所以98CPa．15．3(2,)4．【解法1】两条曲线的普通方程分别为222,1xyyx．解得1,1.xy由cos,sinxy得点(1,1)的极坐标为3(2,)4．【解法2】由2sincos1得1sin22，02024＜＜Q，322或3222，34或74（舍），从而2，交点坐标为3(2,)4。三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．3sin(2)25，3cos25，2312sin5，21sin5，5sin5．17．（1）重量超过505克的产品数量是DOPABC40(0.0550.015)12件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；22824063(0)130CPYC，11122824056(1)130CCPYC，21224011(1)130CPYC，Y的分布列为（3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为23122854012112827262111231213214039383736371970354321CCC。18．（1）证明：连结CF，因为¼AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为»AC的中点，所以EBAC。在RTBCE中，22222ECBCBEaaa。在BDF中，5BFDFa，BDF为等腰三角形，且点C是底边BD的中点，故CFBD。在CEF中，222222(2)(2)6CECFaaaEF，所以CEF为Rt，且CFEC。因为CFBD，CFEC，且CEBDCI，所以CF平面BED，而EB平面BED，CFEB。因为EBAC，EBCF，且ACCFCI，所以EB平面BDF，而FD平面BDF，EBFD。（2）设平面BED与平面RQD的交线为DG.由23FQFE，23FRFB，知//QREB.而EB平面BDE，∴//QR平面BDE，而平面BDEI平面RQD=DG，∴////QRDGEB.由（1）知，BE平面BDF，∴DG平面BDF，Y012P6313056130111303x+2y=16x+y=73x+5y=27ABC2.5x+4y=0Oyx而,DRDB平面BDF，∴DGDR，DGDQ，∴RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角．在R