03【数学】2010年高考试题——数学（福建卷）（理）

2010年高考试题——数学（理）（福建卷）解析解析（一）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．cos13计算sin43cos43-sin13的值等于（）A．12B．33C．22D．32【答案】A。【解析】原式=1sin(43-13)=sin30=2，故选A。【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。2．以抛物线24yx的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为()A．22x+y+2x=0B．22x+y+x=0C．22x+y-x=0D．22x+y-2x=0【答案】D。【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y=1（，即22x-2x+y=0，选D。【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。3．设等差数列na的前n项和为nS,若111a,466aa,则当nS取最小值时,n等于A．6B．7C．8D．9【答案】A。【解析】设该数列的公差为d，则461282(11)86aaadd，解得2d，所以22(1)11212(6)362nnnSnnnn，所以当6n时，nS取最小值。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。4．函数2x+2x-3,x0x)=-2+lnx,x0f（的零点个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】C。【解析】当0x时，令2230xx解得3x；当0x时，令2ln0x解得100x，所以已知函数有两个零点，选C。【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于A．2B．3C．4D．5【答案】C。【解析】由程序框图可知，该框图的功能是输出使和123122232211iSi…时的i的值加1，因为，1212221011，12312223211，所以当11S时，计算到3i，故输出的i是4，选。6．如图，若是长方体1111ABCDABCD被平面EFGH截去几何体11EFGHBC后得到的几何体，其中E为线段11AB上异于1B的点，F为线段1BB上异于1B的点，且EH∥11AD，则下列结论中不正确的是A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形C．是棱柱D．是棱台【答案】D。【解析】因为EH∥11AD，11AD∥11BC，所以，EH∥11BC，又11EHBCBC平面，所以EH∥平面11BCBC，又EHEFGH平面，平面EFGH平面11BCBCFG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥11BC，所以选项A、C正确；因为11AD平面11ABBA，EH∥11AD，所以EH平面11ABBA，又EF平面11ABBA，故EHEF，所以选项B也正确，故选D。【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。7．若点O和点(2,0)F分别是双曲线2221(a0)axy的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OPFP的取值范围为()A．[3-23,)B．[323,)C．7[-,)4D．7[,)4【答案】B。【解析】因为(2,0)F是已知双曲线的左焦点，所以214a，即23a，所以双曲线方程为2213xy，设点P00(,)xy，则有220001(3)3xyx，解得220001(3)3xyx，因为00(2,)FPxy，00(,)OPxy，所以2000(2)OPFPxxy=00(2)xx2013x2004213xx，此二次函数对应的抛物线的对称轴为034x，因为03x，所以当03x时，OPFP取得最小值432313323，故OPFP的取值范围是[323,)，选B。【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。8．设不等式组x1x-2y+30yx所表示的平面区域是1,平面区域是2与1关于直线3490xy对称,对于1中的任意一点A与2中的任意一点B,||AB的最小值等于()A．285B．4C．125D．2【答案】B。【解析】由题意知，所求的||AB的最小值，即为区域1中的点到直线3490xy的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线3490xy的距离最小，故||AB的最小值为|31419|245，所以选B。【命题意图】本题考查不等式中的线性规划及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。9．对于复数abcd，，，，若集合{}Sabcd，，，具有性质“对任意xyS，，必有xyS”，则当2211abcb，，时，bcd等于A．1B．-1C．0D．i【答案】B。【解析】由题意，可取11abcidi，，，，所以11bcdii，选B。【命题意图】本题属创新题，考查复数与集合的基础知识。10．对于具有相同定义域D的函数()fx和()gx，若存在函数()hxkxb（kb，为常数），对任给的正数m，存在相应的0xD，使得当xD且0xx时，总有0()()0()()fxhxmhxgxm，，则称直线:lykxb为曲线()yfx与()ygx的“分渐近线”。给出定义域均为D=1xx的四组函数如下：①2()fxx，()gxx；②()102xfx，()gx23xx；③()fx21xx，()gxln1lnxxx；④22()1xfxx，()2(1)xgxxe。其中，曲线()yfx与()ygx存在“分渐近线”的是A．①④B．②③C．②④D．③④【答案】C【命题意图】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x时，0)()(xgxf进行做答，是一道好题，思维灵活。【解析】要透过现象看本质，存在分渐近线的充要条件是x时，0)()(xgxf。对于○1，当1x时便不符合，所以○1不存在；对于○2，肯定存在分渐近线，因为当时，0)()(xgxf；对于○3，xxxgxfln11)()(，设01)(,ln)(2xxxxx且xxln，所以当x时xxln越来愈大，从而)()(xgxf会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；○4当0x时，022112)()(xexxgxf，因此存在分渐近线。故，存在分渐近线的是②④选C。二、填空题11．在等比数列na中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式na．【答案】n-14【解析】由题意知11141621aaa，解得11a，所以通项nan-14。【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于．【答案】6+23【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为324234，侧面积为3216，所以其表面积为6+23。【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。13．某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于。【答案】0．128【解析】由题意知，所求概率为2425C0.80.2=0.128。【命题意图】本题考查独立重复试验的概率，考查基础知识的同时，进一步考查同学们的分析问题、解决问题的能力。14．已知函数f(x)=3sin(x-)(0)6和g(x)=2cos(2x+)+1的图象的对称轴完全相同。若x[0,]2，则f(x)的取值范围是。【答案】3[-,3]2【解析】由题意知，2，因为x[0,]2，所以52x-[-,]666，由三角函数图象知：f(x)的最小值为33sin(-)=-62，最大值为3sin=32，所以f(x)的取值范围是3[-,3]2。【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想。15．已知定义域为0（，）的函数f(x)满足：①对任意x0（，），恒有f(2x)=2f(x)成立；当x]（1，2时，f(x)=2-x。给出如下结论：①对任意mZ，有mf(2)=0；②函数f(x)的值域为[0，）；③存在nZ，使得nf(2+1)=9；④“函数f(x)在区间(,)ab上单调递减”的充要条件是“存在Zk，使得1(,)(2,2)kkab”。其中所有正确结论的序号是。【答案】①②④【解析】对①，因为m20，所以mf(2)=0，故①正确；经分析，容易得出②④也正确。【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键。16．（本小题满分13分）设S是不等式260xx的解集，整数．．mnS，。（Ⅰ）记“使得0mn成立的有序数组．．．．()mn，”为事件A，试列举A包含的基本事件；（Ⅱ）设2m，求的分布列及其数学期望E。【命题意图】本小题主要考察概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想。【解析】（Ⅰ）由260xx得23x，即{|23}Sxx，由于整数mnS、且0mn，所以A包含的基本事件为(22)(22)(11)(11)(00)，，，，，。（Ⅱ）由于m的所有不同取值为-2，-1，0，1，2，3，所以2m的所有不同取值为0，1，4，9，且有1(0)6P，21(1)63P，21(4)63P，1(9)6P，故的分布列为0149P16131316所以E=106113143196196。17．（本小题满分13分）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。【解析】（1）依题意，可设椭圆C的方程为22221(a0,b0)xyab，且可知左焦点为(20)F，，从而有22|||'|358caAFAF，解得24ca，又222abc，所以212b，故椭圆C的方程为2211612xy。概率为p。（i）当点C在圆周上运动时，求p的最大值；（ii）记平面11AACC与平面1BOC所成的角为(090)，当p取最大值时，求cos的值。【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。【解析】（Ⅰ）因为1AA平面ABC，BC平面ABC，所以1AABC，因为AB是圆O直径，所以BCAC，又AC1