05【数学】2010年高考试题——数学（湖北卷）（理）

绝密★启用前试卷类型：B2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工农医类)本试题卷共4页，三大题21小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B铅笔将答题卡上试卷类型B后的方框涂黑。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。3填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1.若i为虚数单位，图中复平面内点z表示复数z，则表示复数1zi的点是A.EB.FC.GD.H2.设集合A=22{(,)|1}416xyxy，B={(,)|3}xxyy,则A∩B的子集的个数是A.4B.3C.2D.13.在△ABC中，a=15，b=10,∠A=060，则cosBA.223B.223C.63D.634投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰于向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是A.512B.12C.712D.345已知ABCV和点M满足0MAMBMCuuuruuuruuur.若存在实数m使得ABACmAMuuuruuuruuur成立，则m=A．2B.3C.4D.56将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样疗法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第1营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区.三个营区被抽中的人数依次为A．26,16,8B.25,17,8C.25,16,9D.24,17,97如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去.设nS为前n个圆的面积之和，则limnxSA．22rB.283rC.24rD.26r8现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是A．152B.126C.90D.549若直线yxb与曲线234yxx有公共点，则b的取值范围是A．1,122B.122,122C.122,3D.12,310．记实数1x，2x，…，nx中的最大数为12max,,nxxx…,，最小数为12min,,nxxx…,.已知ABCV的三边长为,,()abcabc，定义它的倾斜度为max,,min,,abcabcbcabcal则“1l”是“ABCV为等边三角形”A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11.在204(3)xy展开式中，系数为有理数的项共有项.12己知2zxy，式中变量,xy满足约束条件,1,2,yxxyx则z的最大值为.13．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是cm．14．某射手射击所得环数的分布列如下：已知的期望8.9E，则y的值为．15．设00ab＞，＞，称2abab为a，b的调和平均数．如图，C为线殴AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作OD的垂线，垂足为E．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段的长度是a，b的几何平均数，线段的长度是a，b的调和平均数．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数coscos33fxxx，11sin224gxx．（Ⅰ）求函数fx的最小正周期；（Ⅱ）求函数hxfxgx的最大值，并求使hx取得最大值的x的集合．17．（本小题满分12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：01035kCxxx，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设fx为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及fx的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚对，总费用fx达到最小，并求最小值．18.(本小题满分12分)如图,在四面体ABOC中，OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1.(Ⅰ)设P为AC的中点.证明：在AB上存在一点Q,使PQ⊥OA,并计算=ABAQ的值；(Ⅱ)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.19.(本小题满分12分)已知一条曲线C在y轴右边，C上没一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差是1.(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有连个交点A,B的任一直线，都有FAFB﹤0?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.20.(本小题满分13分)已知数列na满足:112a,11312111nnnnaaaa,101nnnaa；数列nb满足：nb=21na-2na（n≥1）.(Ⅰ)求数列na，nb的通项公式;(Ⅱ)证明:数列nb中的任意三项不可能成等差数列.21.(本小题满分14分)已知函数f(x)=ax+bx+c(a＞0)的图象在点（1,f(1)）处的切线方程为y=x-1.(Ⅰ)用a表示出b,c;(Ⅱ)若f(x)＞㏑x在[1,∞]上恒成立，求a的取值范围；(Ⅲ)证明：1+12+13+…+1n＞㏑(n+1)+21nn)(n≥1).绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案)(xh取得最大值时，对应的x的集合为}.,8|{Zkkxx17．本小题主要考查函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，（满分12分）解：（I）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为53)(xkxC，再由,5340)(,40,8)0(xxCkC因此得而建造费用为.6)(1xxC最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为)100(6538006534020)()(20)(1xxxxxxCxCxf（II）,6)53(2400,0)(',)53(24006)('22xxfxxf即令解得325,5xx（舍去）.当50x时，,0)('xf当.0)(',105xfx时故x=5是)(xf的最小值点，对应的最小值为.7051580056)5(f当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.（II）连结PN，PO.由OC⊥OA，OC⊥OB知，OC⊥平面OAB，又ON平面OAB，∴OC⊥ON，又由ON⊥OA知：ON⊥平面AOC，∴OP是NP在平面AOC内的射影，在等腰COARt中，P为AC的中点，.OPAC根据三垂线定理，知：AC⊥NP.OPN为二面角O—AC—B的平面角，在等腰COARt中，OC=OA=1，22OP，在,3330tan,OAONAONRt中.51563022cos,630,22PNPOOPNONOPPNPONRt中在（II）记平面ABC的法向量为),,(321nnnn，则由,,ABnCAn且)1,0,1(CA，得13220,330,22nnnn故可取).1,3,1(n又平面OAC的法向量为)0,1,0(e(1,3,1)(0,1,0)3cos,.515ne二面角O—AC—B的平面角是锐角，记为.515cos,则又,42yx于是不等式②等价于2222121212()104444yyyyyy01]2)[(4116)(2122121221yyyyyyyy③由①式，不等式③等价于22416tmm④对任意实数t，24t的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于.223223,0162mmm即由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有0FBFA，且m的取值范围是).223,223(20．本小题主要考查等差数列，等比数列等基础知识以及反证法，同时考查推理论证能力.（满分13分）（II）用反证法证明：假设数列}{nb存在三点)(,,tsrbbbtsr按某种顺序成等差数列，由于数列}{nb是首项为41，公比为32的等比数列，于是有tsrbbb，则只可能有2trsbbb成立，1111212122()()()434343trs，两边同乘,23rtrt化简得32223.trtrsrts由于tsr，所以上式左边奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾.故数列}{nb中任意三项不可能成等差数列.21．本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想.（满分14分）解：（I）.21,1,1)1(',0)1(,)('2acabbafcbafxbaxf解得则有（II）由（I）知，.211)(axaaxxf令1()()ln12ln,1,,agxfxxaxaxxx则,)1)(1()1(11)(',0)1(2222xaaxxaxaxaxxxaaxgg（i）当.11,210aaa时若)(,0)(',11xgxgaax则是减函数，所以,0)1()(gxg即,1ln)(,ln)(在故xxfxxf上不恒成立.（ii）当.11,21aaa时若)(,0)(',1xgxgx则是增函数，所以,0)1()(gxg即1,ln)(xxxf故当时，.ln)(xxf综上所述，所求a的取值范围为.,21整理得.)1(2)1ln(131211nnnn解法二：用数学归纳法证明.（1）当n=1时，左边=1，右边,1412ln不等式成立.（2）假设n=k时，不等式成立，就是.)1(2)1ln(131211kkkk那么11)1(2)1ln(11131211kkkkkk.)1(22)1ln(kkk