06【数学】2010年高考试题——数学（湖北卷）（文）

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试题卷共4页，三大题21题。全卷满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合M={1,2,4,8}，N={xx是2的倍数}，刚MN=A.{2,4}B.{1,2.4}C.{2,4,8}D.{1,2,4,8}2.函数()fx=3sin()24x，xR的最小正周期为A.2B.C.2D.43.已知函数f（x）=3xlogx,x0,2,x0,则f19f=A.4B.14C.4D.144.用,,abc表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：①若,,abbc∥∥则ac∥;②若,,abbc则ac；③若a∥,b∥,则a∥b;④若,ab,则a∥b.其中真命题的序号是A.①②B.②③C.①④D.③④5.函数0.51log(43)yx的定义域为A.3(,1)4B.3(,)4C.(1,)D.3(,1)(1,+)46.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是A.65B.56C.5654322D.654327.已知等比数列na中，各项都是正数，且1a、121a、22a成等差数列，则91078aaaa=A．1+2B．1-2C．3+22D．3-228．已知ABC和点M满足MA+MB+MC=0.若存在实数m使得AB+AC=mAM成立，则mA．2B．3C．4D．59.若直线yxb与曲线3y24xx有公共点，则b的取值范围是A.122,122C.12,3B.1,122D.122,310.记实数12,,nXXX中的最大数为max12,,nXXX,最小数为min12,,nXXX.已知ABC三边的边长为,,abc(abc),定义它的倾斜度为max,,min,,,abcabcbcabca则“1”是“ABC为等边三角形”的A.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件B.充要条件D.既不充分也不必要的条件二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。答案错位，书写不清，模棱两可均不得分.11.在（1—x2）10的展开式种，x4的系数为.12.已知2zxy，式中变量,xy满足约束条件12yxxyx，，，则z的最大值为.13.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为（用数字作答）.14.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球，（球的半径和圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm.15.已知椭圆:C2212xy的两焦点为12,FF,点00(,)Pxy满足2200012xy，则12PFPF的取值范围为，直线0012xxyy与椭圆C的公共点个数为.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16、（本小题满分12分）已知函数22cossin()2xxfx，11()sin224gxx.（Ⅰ）函数()fx的图像可由函数()gx的图像经过怎样的变化得到？（Ⅱ）求函数()()()hxfxgx的最小值，并求使()hx取得最小值的x的集合。17、（本小题满分12分）为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）.（1）在答题卡上的表格中填写相应的频率；（2）估计数据落在［1.15，1.30）中的概率为多少；（3）将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中的鱼的总条数.18．（本小题满分12分）如图。在四面体ABOC中，OCOA，OCOB，120AOB且1OAOBOC.(Ⅰ)设P为AC的中点，Q在AB上且3ABAQ.证明:PQOA；(Ⅱ)球二面角OACB的平面角的余弦值。19.(本小题满分12分)已知某地今年初拥有居民住房的总面积为a（单位：2m），其中有部分旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b（单位：2m）的旧住房.（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；(Ⅱ)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1.15=1.6）20.（本小题满分13分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点(1,0)F的距离减去它到y轴距离的差都是1.（1）求曲线的C方程：（2）是否存在正数m，对于过点(,0)Mm且与曲线C有两个焦点AB、的任一直线，都有FAFB0＜?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。21.（本小题满分14分）设函数221(),32afxxxbxc其中0a＞.曲线()yfx在点(0,(0))pf处的切线方程为1y.（1）确定,bc的值；（2）设曲线()yfx在点1122(,())(,())xfxxfx及处的切线都过点（0,2）.证明：当12xx时，12()()fxfx；（3）若过点（0,2）可作曲线()yfx的三条不同切线，求a的取值范围.绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）参考答案18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分）解法一：（Ⅰ）在平面OAB内作CNNABOAON连接于交,，在OBOAAOBAOB且中120,，.,3,21,3090120,,21,30,,30的中点为又中在中在ANQAQABANONNBOBNNOBONBANONOANAONRtOBAOAB在PQANACQPCAN,,,,的中点分别为中∥CN.由,:,CONOAONOAOCOA平面知.,CNOACONNC平面又PQ由∥CN，知.PQOA（Ⅱ）连结PN，PO.由.:,OABOCOBOCOAOC平面知又OAB,ON平面∴.OCON..:,.,,..:的平面角为二面角知根据三垂线定理的中点为中在等腰内的射影在平面是平面知又由BACOOPNNPACOPACACPCOARtAOCNPOPAOCONOAON.51563022cos,630,,3330tan,.22,1,22PNPOOPNONOPPNPONRtOAONAONRtOPOAOCCOARt中在中在中在等腰解法二：（1）取O为坐标点，以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系xyzO（如图所示）.则A（1，0，0），C（0，0，1），B（).0,23,211133,(,0,),(,,0),2222PACPAB为中点又由已知，可得113(,,0).326AQAB1331(,,0),(0,,).266231(0,,)(1,0,0)0..62OQOAAQPQOQOPPQOAPQOA又故（Ⅱ）记平面ABC的法向量,,),,(21ABnCAnnnnnn则由)1,0,1(CA且得13220,330,22nnnn故可取).1,3,1(n又平面OAC的法向量为).0,1,0(e.5315)0,1,0()1,3,1(,cosenOACB二面角的平面角是锐角，记为θ，则.515cos19．本小题主要考查阅读材料、提取信息、建立数学模型的能力，同时考查运用所学知识分析和解决实际问题的能力。（满分12分）解：（Ⅰ）第1年末的住房面积2111.1().10ababm第2年末的住房面积).(1.221.1)10111()1011(1011)1011(22mbababba（Ⅱ）第3年末的住房面积222111111111111[()(1)]()[1()].101010101010abbab第4年末的住房面积42311111111()[1()()]10101010ab，第5年末的住房面积52341111111111()[1()()()]1010101010abbaba66.11.111.111.155依题意可知，,3.166.1aba解得,20ab所以每年拆除的旧房面积为).(202ma且m的取值范围是).223,223(21．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数等基本知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力.（满分14分）解：（I）由.)0(,)(,)0(:231)(223bfbaxxxfcfcbxxaxxf得又由曲线))0(,0()(fPxfy在点处的切线方程为y=1，得.0)0(,1)0(ff故.1,0cb（II）))(,(.)(,1231)(223tftaxxxfxaxxf由于点处的切线方程为))(()(txtftfy，而点（0，2）在切线上，所以))(()(2ttftf，化简得.01232,012322323tatttat满足的方程为即下面用反证法证明.假设))(,())(,()(),()(221121xfxxfxxfyxfxf及在点由于曲线处的切线都过点（0，2），则下列等式成立.32113222221112210(1)32210(2)32(3)axxaxxxaxxax由（3）得)4(43)2()1(.222212121axxxxaxx得由22222222112212121211121212123()()()243.4(4),.()().22axxxxxxxxaxaxxaxaxaaaaxxxxfxfx又故由得此时与矛盾所以（III）由（II）知，过点（0，2）可作)(xfy的三条切线，等价于方程)0)(()(2ttftf有三个相异的实根，即等价于方程0123223tat有三个相异的实根.,0).2(22)(.1232)(223aattatttgtattg由于设故有t)0,(0)2,0(a2a),2(a)(tg+0－0+)(tg↗极大值1↘极小值2413a↗由)(tg的单调性知：要使0)(tg有三个相异的实根，当且仅当2413a0，332a.a的取值范围是).,32(3