人大微积分课件9-1重积分

第九章重积分一元函数定积分是求与定义在某一区间上的函数有关的某种总量的数学模型，作为推广，二元函数的二重积分是求与定义在某一平面区域上的函数有关的某种总量的数学模型，三元函数的三重积分是求与定义在某一空间区域上的函数有关的某种总量的数学模型，这些模型的数学结构相同，都是和式的极限。第一节二重积分的概念及性质一问题的提出二二重积分的定义三二重积分的性质四小结一、问题的提出解：对区域D进行网状分割（如图）1曲顶柱体的体积一曲顶柱体其顶为曲面底面为平面区域D,求此曲顶柱体的体积。),(yxfzni,,nD，，个小区域：可分割成区域）211xzyoD),(yxfzi),(ii.),(lim10iiniifV曲顶柱体的体积2）近似：每个个小区域i内任取一点),,(ii则每个小曲顶柱体的体积近似为：iiiifV).,(3）求和：所有小区域对应小曲顶柱体体积之和为niiiiniifV11),(4）取极限：niiiifV10,lim其中的直径ini1max2平面薄片的质量2）取点3）作和4）取极限iii,niiiirLimM10,ninD,,)121，，个小区域：可分割成区域设平面薄片占有xoy面上的区域为D，它在点（x,y)处的密度为求：此薄片的质量),(yxrniiiir1,二、二重积分的定义定义设),(yxf是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域1，,2，n，其中i表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个i上任取一点),(ii，作乘积),(iifi，),,2,1(ni，并作和iiniif),(1，积分区域如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域D上的二重积分，记为Ddyxf),(，即Ddyxf),(iiniif),(lim10.积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素注：1在二重积分定义中，对区域D的划分是任意的，故如果在直角坐标系中用平边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域jx则kjiyx故在直角坐标系中，都是矩形闭区域。设矩形小闭区域i的边长为,ky和行于坐标轴的直线网来划分D，则除了包含，0xyDjxiky直角坐标系下面积元素d图示Ddxdyyxf),(,dxdydDdyxf,2存在性：当),(yxf在闭区域D上连续时，函数),(yxf在D上的二重积分必定存在。以后总假定),(yxf在D上的二重积分是存在的。3由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数),(yxf在D上的二重积分,),(DdyxfV平面薄片的质量是面密度),(yx在薄片所占闭区域D上的二重积分：.),(DdyxM4二重积分的几何意义：（其中xoy面上方柱体的体积取正，xoy面下方柱体的体积取负）。3）如果则二重积分Ddyxf,解释为曲顶柱体体积的代数和。,y,xf既有正又有负2）如果则二重积分Ddyxf,解释为曲顶柱体体积的负值。,y,xf01）如果则二重积分Ddyxf,解释为曲顶柱体的体积。,y,xf0三、二重积分的性质性质1被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即：DDdyxfkdyxkf,,性质2函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。DDDdyxgdyxfdyxgyxf,,,,性质3(区域可加性)如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在个部分闭区域上的二重积分的和.21,,,,D21DDDdyxfdyxfdyxfDD则例如为D之面积性质4如果在D上DDdd1（高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。）1),(yxf性质5若在D上，),,(),(yxgyxf则：,),(),(DDdyxgdyxf特别地，dyxfdyxfDD),(),(),(),(),(yxfyxfyxf例1比较下列积分的大小：1）Ddyx2)(与Ddyx3)(其中D:2)1()2(22yx0yx(3,0)(1,0)(0,1)1yx.D解：在区域D内，显然有,1yx故在D内32)()(yxyxDDdyxdyx32)()(,其中区域D为顶点为A(1，0)B(1，1)，C(2，0)的三角形闭区域。2）DDdyxdyx2)][ln()ln(与解：BC的方程x+y=2D内1y)ln(x0,21yxDDdyxdyx2)][ln()ln(所以A(1,0)B(2,0)B(1,1)性质6（估值定理）设在D上f(x,y)的最大值为M，最小值为m，A为D的面积，即Mxfm)(则MAdyxfmAD),(证明：因为Mxfm)(由性质5DDDMddyxfmd),(MAdyxfmAD),(所以例220,10,)1(yxDdyxID是矩形闭区域：其中解：在D内的最大值为4，最小值为1区域D的面积为2所以由性质6得812Ddyx)(yxyxf),(性质7(中值定理)),(yxf设函数D连续，为之面积,则在D上至少存在一),(使得：).,(,fdyxfD证明：由性质6得，DMdyxfm),(1点在闭区域根据据闭区域上连续函数的介值定理，在D上至少存在一点),,(Ddyxff),(),(1使得即Dfdyxf),(),(二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结