【数学】2011年高考试题——文科（广东卷）解析版

绝密★启用前试卷类型：B2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体体积公式13VSh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．线性回归方程ybxa中系数计算公式121()()()niiiniixxyybxx，aybx，样本数据12,,,nxxx的标准差，222121[()()()]nsxxxxxxn，其中x，y表示样本均值．n是正整数，则1221()()nnnnnnababaababb．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z满足1iz，其中i为虚数单位，则zA．iB．iC．1D．11．（A）．1()iziiii2．已知集合{(,)|,Axyxy为实数，且221}xy，{(,)|,Bxyxy为实数，且1}xy，则AB的元素个数为A．4B．3C．2D．12．（C）．AB的元素个数等价于圆221xy与直线1xy的交点个数，显然有2个交点3．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)abc．若为实数，()ab∥c，则A．14B．12C．1D．23．（B）．(1,2)ab，由()ab∥c，得64(1)0，解得124．函数1()lg(1)1fxxx的定义域是A．(,1)B．(1,)C．(1,1)(1,)D．(,)4．（C）．10110xxx且1x，则()fx的定义域是(1,1)(1,)5．不等式2210xx的解集是A．1(,1)2B．(1,)C．(,1)(2,)D．1(,)(1,)25．（D）．21210(1)(21)02xxxxx或1x，则不等式的解集为1(,)(1,)26．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0222xyxy≤≤≤≤给定．若(,)Mxy为D上的动点，点A的坐标为(2,1)，则zOMOA的最大值为A．3B．4C．32D．426．（B）．2zxy，即2yxz，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线23正视图图1侧视图图22俯视图2图32yxz经过点(2,2)时，z取得最大值，max2224z7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有A．20B．15C．12D．107．（D）．正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共有5210条8．设圆C与圆22(3)1xy外切，与直线0y相切，则C的圆心轨迹为A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆8．（A）．依题意得，C的圆心到点(0,3)的距离与它到直线1y的距离相等，则C的圆心轨迹为抛物线9．如图1~3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为A．43B．4C．23D．29．（C）．该几何体是一个底面为菱形的四棱锥，菱形的面积1223232S，四棱锥的高为3，则该几何体的体积112332333VSh10．设(),(),()fxgxhx是R上的任意实值函数，如下定义两个函数()fg()x和()fg()x：对任意xR，()fg()x(())fgx；()fg()x()()fxgx，则下列等式恒成立的是A．(()fg　　h)()x(()fh　()gh)()xB．(()fg　h)()x(()fh　　()gh)()xC．(()fgh)()x(()fg　　()gh　)()xD．(()fg　h)()x(()fg　　()gh)()x10．（B）．对A选项(()fg　　h)()x()fg()()xhx(())()fgxhx(()fh　()gh)()x()fh(()()ghx　)()fh((()()gxhx)(()())(()())fgxhxhgxhx，故排除A对B选项(()fg　h)()x()(())fghx(())(())fhxghx(()fh　　()gh)()x()()()()fhxghx(())(())fhxghx，故选B对C选项(()fgh)()x()(())fghx((()))fghx(()fg　　()gh　)()x()(()())()((()))fgghxfgghx　(((())))fgghx，故排除C对D选项(()fg　h)()x()()()()()()fgxhxfxgxhx(()fg　　()gh)()x()()()()()()()()fgxghxfxgxgxhx，故排除D二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（9~13题）11．已知{}na是递增的等比数列，若22a，434aa，则此数列的公比q．11．2．2243224422402(2)(1)0aaaqaqqqqq2q或1q∵{}na是递增的等比数列，∴2q12．设函数3()cos1fxxx．若()11fa，则()fa．12．93()cos111faaa，即3()cos10faaa，则33()()cos()1cos11019faaaaa13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：时间x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为．13．0.5；0.53小李这5天的平均投篮命中率1(0.40.50.60.60.4)0.55y3x，1222221()()0.2000.1(0.2)0.01(2)(1)012()niiiniixxyybxx，0.47aybx∴线性回归方程0.010.47yx，则当6x时，0.53y∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为5cossinxy(0)≤和254xtyt(t)R，它们的交点坐标为___________．14．25(1,)5．5cossinxy表示椭圆2215xy(5501)xy且，254xtyt表示抛物图4BACDEF线245yx22221(5501)5450145xyxyxxxyx且或5x（舍去），又因为01y，所以它们的交点坐标为25(1,)515．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，4AB，2CD，,EF分别为,ADBC上的点，且3EF，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．15．75如图，延长,ADBC，ADBCP∵23CDEF，∴49PCDPEFSS∵24CDAB，∴416PCDPEFSS∴75ABEFEFCDSS梯形梯形三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数1()2sin()36fxx，xR．（1）求(0)f的值；（2）设,0,2，10(3)213f，6(32)5f，求sin()的值．PBACDEF16．解：（1）(0)2sin()16f（2）110(3)2sin[(3)]2sin232613f，即5sin1316(32)2sin[(32)]2sin()3625f，即3cos5∵,0,2，∴212cos1sin13，24sin1cos5∴5312463sin()sincoscossin1351356517．（本小题满分13分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用nx表示编号为n(1,2,,6)n的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩nx7076727072（1）求第6位同学的成绩6x，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．17．解：（1）61(7076727072)756x，解得690x标准差22222222212611[()()()](5135315)766sxxxxxx（2）前5位同学中随机选出的2位同学记为(,)ab，,{1,2,3,4,5}ab且ab则基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间（68，75）中设A表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间（68，75）中”则A中的基本事件有(1,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)共4种，则42()105PA18．（本小题满分13分）图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一BABACCDDEEGH1O2O1O2O图5BABACCDDEEGH1O2O1O2OH半沿切面向右水平平移后得到的．,,,AABB分别为CD,CD,DE,DE的中点，1122,,,OOOO分别为CD,CD,DE,DE的中点．（1）证明：12,,,OAOB四点共面；（2）设G为AA中点，延长1AO到H，使得11OHAO．证明：2BO平面HBG．18．证明：（1）连接2,BO22,OO依题意得1122,,,OOOO是圆柱底面圆的圆心∴,,,CDCDDEDE是圆柱底面圆的直径∵,,ABB分别为CD,DE,DE的中点∴1290AODBOD∴1AO∥2BO∵BB//22OO，四边形22OOBB是平行四边形∴2BO∥2BO∴1AO∥2BO∴12,,,OAOB四点共面（2）延长1AO到H，使得11OHAO，连接1,,HHHOHB∵11OHAO∴1OH//2OB，四边形12OOBH是平行四边形∴12OO∥HB∵1222OOOO，122OOBO，2222OOBOO