【数学】2011年高考试题——文（新课标卷）解析版

2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。．．．．．．．．．．3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合0,1,2,3,4,1,3,5,,MNPMN则P的子集共有（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个解析：本题考查交集和子集概念，属于容易题。显然P=3,1，子集数为22=4故选B（2）复数512ii（A）2i（B）12i（C）2i（D）12i解析：本题考查复数的运算，属容易题。解法一：直接法512iiiiiii22121215，故选C解法二：验证法验证每个选项与1-2i的积，正好等于5i的便是答案。（3）下列函数中，即是偶数又在0,单调递增的函数是A.3yxB.1yxC.21yxD.2xy解析：本题考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题可以直接判断：A是奇函数，B是偶函数，又是0,的增函数，故选B。(4).椭圆221168xy的离心率为A.13B.12C.33D.22解析;本题考查椭圆离心率的概念，属于容易题，直接求e=22422ac,故选D。也可以用公式22.2116811222eabe故选D。（5）执行右面得程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（A）120（B）720（C）1440（D）5040解析：本题考查程序框图，属于容易题。可设11P,21K则322,2KP，463,3KP，5244,4KP，61205,5KP，677206,6KP，输出720.故选B（6）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A）13(B)12(C)23(D)34解析：本题考查古典概型，属于容易题。设三个兴趣小组分别为A,B,C.他们参加情况共一下9种情况，其中参加同一小组情况共3中，故概率为.3193故选A。（7）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2=（A）45（B）35(C)35(D)45解析：本题考查三角公式，属于容易题。易知tan=2，cos=51.由cos2=2cos2-1=35故选B（8）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为解析：本题考查三视图的知识，同时考察空间想象能力。属于难题。由正视图和俯视图可以判断此几何体前部分是一个的三棱锥，后面是一个圆锥，由此可选D（9）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直。l与C交于A,B两点，AB=12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为（A）18（B）24（C）36（D）48解析：本题考查抛物线的方程，属于中等题。易知2P=12，即AB=12，三角形的高是P=6，所以面积为36，故选C。（10）在下列区间中，函数的零点所在的区间为解析：本题考查零点存在定理，属于中等题。只需验证端点值，凡端点值异号就是答案。故选C。（11）设函数，则（A）y=在单调递增，其图像关于直线对称（B）y=在单调递增，其图像关于直线对称（C）y=f(x)在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x=4π对称（D）y=f(x)在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x=2π对称解析：本题考查三角函数的性质。属于中等题。解法一：f(x)=2sin(2x+2)=2cos2x.所以f(x)在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x=2π对称。故选D。解法二：直接验证由选项知（0，2π）不是递增就是递减，而端点值又有意义，故只需验证端点值，知递减，显然x=4π不会是对称轴故选D。(12)已知函数y=f(x)的周期为2，当x11，时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图像与函数y=xlg的图像的交点共有（A）10个（B）9个（C）8个（D）1个解析：本题考查函数的图象和性质，属于难题。本题可用图像法解。易知共10个交点第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须回答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k=。解析：本题考查向量的基本运算和性质，属于容易题。解法一：直接法(a+b)(ka-b)=0展开易得k=1.解法二：凭经验k=1时a+b,a-b数量积为0，易知k=1.（14）若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为。解析：本题考查线性规划的基本知识，属于容易题。只需画出线性区域即可。易得z=x+2y的最小值为-6。（15）△ABC中B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为。解析：本题考查余弦定理和面积公式，属于容易题。有余弦定理得1200222cos2BCACBCACAB所以BC=3，有面积公式得S=431519（16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的163，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为。解析：本题考查球内接圆锥问题，属于较难的题目。由圆锥底面面积是这个球面面积的163得163422Rr所以23Rr，则小圆锥的高为,2R大圆锥的高为23R，所以比值为31三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知等比数列an中，213a，公比13q。（I）nS为an的前n项和，证明：12nnaS（II）设31323logloglognnbaaa，求数列nb的通项公式。解析：本题考查等比数列基本知识和等差数列的基本知识。（I）31131nna31n211311113133nnnS12nnaS（II）31323logloglognnbaaa=-（1+2+3++n）=-2)1(nn数列nb的通项公式为bn=-2)1(nn（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形。60,2,DABABADPD底面ABCD。（I）证明：PABD（II）设1PDAD，求棱锥DPBC的高。解：（Ⅰ）因为60,2DABABAD,由余弦定理得3BDAD从而BD2+AD2=AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD（Ⅱ）过D作DE⊥PB于E，由（I）知BC⊥BD,又PD⊥底面ABCD，所以BC⊥平面PBD，而DE平面PBD，故DE⊥BC,所以DE⊥平面PBC由题设知PD=1，则BD=3,PB=2，由DE﹒PB=PD﹒BD得DE=23,即棱锥DPBC的高为23（19）（本小题12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品，现用两种新配方（分别称为A分配方和B分配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润。解：本题考查概率的基本知识，属于容易题。（Ⅰ）由实验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为100822=0.3所以用A配方生产的产品中优质品率的估计值为0.3。由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为1001032=0.42，所以用B配方生产的产品中优质品率的估计值为0.42.（Ⅱ）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率当且仅当t≥94,由试验结果知，t≥94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润为4422542-41001=2.68（元）2（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线261yxx与坐标轴的交点都在圆C上（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线0xya交与A，B两点，且OAOB，求a的值。解析：本题考查圆的方程和直线和圆的关系。（Ⅰ）曲线261yxx与坐标轴的交点为（0,1）（3）0,22故可设圆的圆心坐标为（3，t）则有221-t3222+t2解得t=1,则圆的半径为31322t所以圆的方程为91322yx（Ⅱ）设A(),11yxB(),22yx其坐标满足方程组0xya291322yx消去y得到方程012)82(222axaax由已知可得判别式△=56-16a-4a20由韦达定理可得axx421，212221aaxx①由OAOB可得.02121yyxx又axy11axy22。所以20)(22121axxxxa②由①②可得a=-1,满足△0，故a=-1。（21）（本小题满分12分）已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy。（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当0x，且1x时，ln()1xfxx。解析：本题考查导数的基本概念和几何意义，（Ⅰ）221(ln)'()(1)xxbxfxxx由于直线230xy的斜率为12，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2ff即1,1,22bab解得1a，1b。（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=,11lnxxx所以xxxxxfxx1ln2111ln)(22考虑函数则h′(x)=xxxxxx222221122所以x≠1时h′(x)＜0而h(1)=0故x1,0时h(x)0可得ln()1xfxxx，1h(x)0可得ln()1xfxx从而当0x，且1x时，ln()1xfxx。请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合。已知AE的长为m，AC的长为n，AD,AB的长是关于x的方程2140xxmn的两个根。（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若90A，且4,6mn，求C，B，D，E所在圆的半径。解析：（Ⅰ）连结DE,根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC即ABAEACAD,又∠DAE=∠CAB,从而△ADE～△ACB因此∠ADE=∠ACB,所以C,B,D,E四点共圆。（Ⅱ）m=4,n=6,方程2140xxmn的两根为2,12.即AD=2，AB=12取CE的中点G，DB的中点F，分别过G,F作AC,AB的垂线，两垂线交于点H，连结D,H,因为C,B,D,E四点共圆，所以圆心为H,半径为DH.由于∠A=900故GH∥AB,H