【数学】2011年高考试题——（四川卷文）含答案

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工类)本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)24sR如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么243vR在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径n()(1)(0,1,2,...)kknknPkCppkn第一部分（选择题共60分）注意事项：1.选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。2.本部分共12小题，每小题5分，共60分。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5)2[15.5,19.5)4[19.5，23．5)9[23.5,27.5)18[27.5，31.5)1l[31.5，35.5)12[35.5．39.5)7[39.5,43.5)3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是(A)16(B)13(C)12（D）23答案：B解析：从31.5到43.5共有22，所以221663P。2、复数1ii=(A)2i（B）12i（C）0（D）2i答案：A解析：12iiiii3、1l，2l，3l是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(A)12ll，23ll13ll（B）12ll，23ll13ll(C)233lll1l，2l，3l共面（D）1l，2l，3l共点1l，2l，3l共面答案：B解析：A答案还有异面或者相交，C、D不一定4、如图，正六边形ABCDEF中，BACDEF=(A)0(B)BE(C)AD(D)CF答案D解析：BACDEFBAAFEFBFEFCEEFCF5、5函数，()fx在点0xx处有定义是()fx在点0xx处连续的(A)充分而不必要的条件(B)必要而不充分的条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件答案：B解析：连续必定有定义，有定义不一定连续。6.在ABC中．222sinsinsinsinsinBCBC.则A的取值范围是(A)(0，6](B)[6，)(c)(0，3](D)[3，)答案：C解析：由题意正弦定理22222222211cos023bcaabcbcbcabcAAbc7．已知()fx是R上的奇函数，且当0x时，1()()12xfx，则()fx的反函数的图像大致是答案：A解析：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域。当10,0()1,122xxy，故选A8.数列na的首项为3，nb为等差数列且1(*)nnnbaanN.若则32b，1012b，则8a（A）0（B）3（C）8（D）11B解析：由已知知128,28,nnnbnaan由叠加法21328781()()()642024603aaaaaaaa9.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润（A）4650元（B）4700元（C）4900元（D）5000元答案：C解析：由题意设派甲，乙,xy辆，则利润450350zxy，得约束条件08071210672219xyxyxyxy画出可行域在12219xyxy的点75xy代入目标函数4900z10.在抛物线25(0)yxaxa≠上取横坐标为14x，22x的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536xy相切，则抛物线顶点的坐标为（A）(2,9)（B）(0,5)（C）(2,9)（D）(1,6)答案：A解析：由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2aaKa,设直线方程为(2)yaxb，则223651(2)ba又2564(2,9)(2)yxaxbayaxb11.已知定义在0,上的函数()fx满足()3(2)fxfx，当0,2x时，2()2fxxx.设()fx在22,2nn上的最大值为(*)nanN，且na的前n项和为nS，则limnnS（A）3（B）52（C）2（D）32答案：D解析：由题意1(2)()3fxfx,在[22,2]nn上，2111()111331,()1,2,(),3,()()()lim1333213nnnnnnfxnfxnfxaSS12.在集合1,2,3,4,5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量(,)ab.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m，则mn（A）415（B）13（C）25（D）23答案：D基本事件：26(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3),3515nC由其中面积为1的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)其中面积为2的平行四边形的个数为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)其中面积为3的平行四边形的个数(2,3)(4,3);(2,1)(4,5)其中面积为4的平行四边形的个数(2,1)(2,5);(4,1)(4,3);(4,3)(4,5)其中面积为5的平行四边形的个数(2,3),(4,1);(2,5)(4,5)；其中面积为7的平行四边形的个数(2,5),(4,3)其中面积为8的平行四边形的个数(4,1)(4,5)其中面积为9的平行四边形的个数(2,5),(4,1)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.计算121(lglg25)100=4.答案：20解析：12111(lglg25)100lg2041001014.双曲线22xy=1P46436上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点P到左准线的距离是.答案：565解析：8,6,10abc，点P显然在双曲线右支上，点P到左焦点的距离为14，所以1455645cdda15.如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是.答案：22R解析：22222max224()SrRrrRrS侧侧时，22222222RrRrrrR，则222422RRR16.函数fx（）的定义域为A，若1212xxAfx=fx，且（）（）时总有12x=xfx，则称（）为单函数.例如，函数fx（）=2x+1（xR）是单函数.下列命题：①函数fx（）=2x（xR）是单函数；②若fx（）为单函数，121212xxAxxfxfx，且，则（）（）；③若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.其中的真命题是.（写出所有真命题的编号）答案：②③④解析：①错，12xx，②③④正确。三、解答题17、已知函数73()sin()cos(),44fxxxxR(1)求()fx的最小正周期和最小值；（2）已知44cos(),cos(),(0)552a，求证：2[()]20f解析：7733()sincoscossincoscossinsin44442sin2cos2sin()4fxxxxxxxxmax2,()2Tfx（2）4cos()coscossinsin(1)54cos()coscossinsin(2)5coscos00cos0222()2(())20ff18、本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,42；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为11,24；两人租车时间都不会超过四小时。（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望E；解析：（1）所付费用相同即为0,2,4元。设付0元为1111428P，付2元为2111248P，付4元为31114416P则所付费用相同的概率为123516PPPP(2)设甲，乙两个所付的费用之和为，可为0,2,4,6,81(0)811115(2)4422161111115(4)4424241611113(6)442416111(8)4416PPPPP分布列02468P185165163161165591784822E19．(本小题共l2分)如图，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1．D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA．(I)求证：CD=C1D：(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离．解析：（1）连接1BA交1BA于O,1//BP1面BDA,111,,BPABPABPDOD1面面面BA1//BPOD,又O为1BA的中点，D为AP中点，1C1为AP,1ACDPCD1CDCD,D为1CC的中点。（2）由题意11,ABACABAAABCC1面AA,过B作AHAD,连接BH，则BHAD,AHB为二面角1AADB的平面角。在1AAD中，11551,,22AAADAD,则25253525,,cos553355AHAHBHAHBBH(3)因为11CBPDBPCDVV，所以1111133BPDPCDhSABS,111AB11111244PCDPCCPCDSSS,在1BDP中，11119553525544,5,.cos,sin32255252BDBPPDDBPDBP，1135315,22543BPDSh20．(本小题共12分)设d为非零实数，12211*1(2(1)]()nnnnnnnnnaCdCdnCdnCdnNn(1)写出123,,aaa并判断{}na是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；(II)设*()nnbndanN，求数列{}nb的前n项和nS．解析：（1）1223(1)(1)adaddadd012231111(1)(1)1nnnnnnnnnnnnaCdCdCdCdddaddada因为d为常数，所以{}na是以d为首项，1d为公比